El mapa exponencial $e_{m}: M(n,\mathbb{R})\rightarrow M(n,\mathbb{R})$ está definido por $$e_m(\alpha)=me^\alpha,\quad e^\alpha=1+\alpha+\frac{\alpha^2}{2}+\frac{\alpha^3}{3!}+\cdots$$
Ahora fix $q\in M(n,\mathbb{R})$ e introducir la izquierda-invariante 1-formulario $$w=\operatorname{Tr}(qm^{-1}dm)$$ on $GL(n,\mathbb{R})$. The pull-back of this form by $e_{I}$ is a one form $$e^{*}_{I}=\int^1_0 ds \, \operatorname{Tr}(e^{-s\alpha}qe^{s\alpha}d\alpha)$$ reclamado por Clifford Taubes.
Mi pregunta es ¿cómo podemos llegar a esta fórmula. Recordemos que $w$ puede ser escrito como $$w=\sum_{1\le i\le j\le k\le n}(q_{ij}(m^{-1})_{jk} \, dm_{ki})$$
En la configuración general, para un mapa de $\psi$ $M$ $N$ con bases de $dy_{i}$$TN^{*}$$dx_i$$TM^{*}$, bajo local homoemorphism $\phi_{U}$ $\mathbb{R}^m$ $M$ $\phi_v$ $N$ % # % debemos tener la tire hacia atrás de la forma $\mathbb{R}^n$ $dy_k$ ser: $\psi$$$(\psi^{*} \, dy_k) = \sum_{1\le i\le m}\left(\frac{\partial \phi_k}{\partial x_i}\right)| \, dx_i$\phi=\phi_U\circ \psi\circ \psi_v^{-1}$.
Me pregunto por qué la primera fórmula es verdadera y ¿cómo podemos obtenerlo a partir de la segunda fórmula. Yo no podría simplificar en algo básico (por ejemplo, no entiendo por qué tenemos el signo integral). Así que me atrevo a preguntar aquí. Le pregunté a algunos profesores, pero todavía está atascado. Yo creo que esto debe reduce a algo muy básico. Taubes reclamo podemos simplificar esta escritura como un funcional lineal para $ where $$$e^{*}w_q(c)=\int^1_0 ds \, \operatorname{Tr}(e^{-sa}qe^{sa})c$c$ (viewing $\alpha$ y evaluar este)
