Si la suma de los vectores propios es un vector propio, entonces todos ellos corresponden al mismo valor propio

Question

Creo que estoy muy cerca de terminar esta prueba, pero no puedo resolver la última parte. Si alguien pudiera revisar mi trabajo y quizás darme una pequeña pista, ¡se lo agradecería mucho!

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita y $T \in \mathcal{L}(V)$ y que $\mathbf{u,v} \in V$ sean vectores propios de $T$ .

Reclamación : Si $\mathbf{u} + \mathbf{v}$ es un vector propio de $T$ entonces $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ y $\mathbf{u+v}$ todos corresponden al mismo valor propio.

Pruebas (¡hasta ahora!) : Supongamos que $T(\mathbf{u}) = \lambda_1 \mathbf{u}$ y $T(\mathbf{v}) = \lambda_2 \mathbf{v}$ con $\mathbf{u}, \mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ .

Supongamos ahora que $T(\mathbf{u+v}) = \lambda_3(\mathbf{u+v})$ con $\mathbf{u+v}\neq \mathbf{0}$ .

Entonces, $$ T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) = \lambda_3 \mathbf{u} + \lambda_3 \mathbf{v}\\ \lambda_1\mathbf{u} + \lambda_2\mathbf{v} = \lambda_3 \mathbf{u} + \lambda_3\mathbf{v}\\ \lambda_1\mathbf{u} + \lambda_2\mathbf{v} - \lambda_3 \mathbf{u} -\lambda_3\mathbf{v} = \mathbf{0}\\ (\lambda_1 - \lambda_3) \mathbf{u} + (\lambda_2 - \lambda_3)\mathbf{v} = \mathbf{0} $$

Ahora sé que para demostrar que $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3$ Debo demostrar que la única solución de la última línea es la trivial. Esto implicaría que $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ son linealmente independientes, lo cual no me convence.

La única información que tengo a mi favor y que aún no he utilizado es el hecho de que $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{u+v} \neq \mathbf{0}$ . Sin embargo, no veo cómo esta información puede ayudarme.

Tal vez me equivoque, pero por eso quiero preguntar. Gracias por su ayuda.

Answer 1

$$(\lambda_1-\lambda_3)\vec u+(\lambda_2-\lambda_3)\vec v=\vec 0$$ Caso 1:

$\vec u$ y $\vec v$ son linealmente independientes. Entonces, como usted dice, $\lambda_1-\lambda_3=\lambda_2-\lambda_3=0$ Así que ya está hecho.

Caso 2:

$\vec u$ y $\vec v$ son linealmente dependientes. Entonces $\vec v=k\vec u$ para un escalar $k$ . Entonces $T(\vec v)=\lambda_2 \vec v$ pero también $T(\vec v)=T(k\vec u)=kT(\vec u)=k\lambda_1\vec u=\lambda_1\vec v$ . Desde $\vec v$ es un vector propio, es distinto de cero, por lo que $\lambda_1=\lambda_2$ . Entonces puedes volver a la ecuación anterior $$\lambda_1 (\vec u+\vec v)=\lambda_3(\vec u+\vec v)$$ y de nuevo utilizando el hecho de que $\vec u+\vec v$ es un vector propio tan distinto de cero, se puede concluir que todas las $\lambda_i$ son iguales.