Puede el grupo fundamental de un abierto conectado subconjunto $X$ $\mathbb{R}^n$ tiene un elemento de torsión?
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Lennart Regebro
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El real proyectiva avión $\Bbb R P^2$ incrusta en $\Bbb R^4$. Tomando un tubular vecindario $N$ de esta incorporación, tenemos para todos los $n \geq 4$ abierto subconjunto $N \subset \Bbb R^n$ tal que $\pi_1(N) \cong \Bbb Z/2$, por lo que el grupo fundamental de este subconjunto ha de torsión.
Para $n = 2$, no hay tal subconjunto; consulte el siguiente artículo:
Eda, K. Libre $\sigma$-productos y fundamental de los grupos de subespacios del avión. Topología y sus Aplicaciones, Volumen 84, Temas 1-3, 24 de abril de 1998, pp 283-306.
Esto es realmente un problema abierto para $n = 3$.
Dan Rust
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Como se puede ver aquí, el verdadero plano proyectivo $\mathbb{R}P^2$ puede ser incrustado en a$\mathbb{R}^4$, por lo que, teniendo un nivel suficientemente pequeño $\epsilon$ abierto barrio de la imagen de nuestra incorporación, da un homotopy equivalente de la superficie con grupo fundamental de la $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Este es probablemente el caso más simple.
