Una forma cerrada de $\int_0^1{\dfrac{1-x}{\log x}(x+x^2+x^{2^2}+x^{2^3}+\cdots)}\:dx$

Question

Necesito alguna sugerencia para calcular esta integral

$$\int_{0}^{1}{\dfrac{1-x}{\log x}\left(x+x^{2}+x^{2^2}+x^{2^3}+\cdots\right)}{\rm d} x$$

Saludos!

Answer 1

Tenemos

$$ \int_{0}^{1}{\dfrac{1-x}{\log x}(x+x^{2}+x^{2^{2}}+x^{2^{3}}+\cdots)}\:dx=-\log 3. \tag1 $$

Prueba. Uno puede recordar que, utilizando Frullani integral, tenemos $$ \int_{0}^{1}\frac{x^{- 1} x^{b-1}}{\log x}\:dx=\log\frac ab \quad (a,b>0). \tag2 $$ Considerando una suma finita en el integrando, obtenemos $$ \begin{align} &\int_{0}^{1}{\dfrac{1-x}{\log(x)}(x+x^{2}+x^{2^{2}}+\cdots+x^{2^N})}\:dx\qquad (N=0,1,2,\cdots) \\\\&=\sum_{n=0}^N\int_{0}^{1}\frac{x^{2^n}-x^{2^n+1}}{\log x}\:dx\\\\ &=\sum_{n=0}^N\log\frac{2^n+1}{2^n+2}\qquad \quad (\text{using}\, (2))\\\\ &=\sum_{n=0}^N\left(\log(2^n+1)-\log(2^{n-1}+1)-\log 2\right) \quad(\text{a telescoping sum})\\\\ &=\log(2^N+1)-\log(2^{-1}+1)-(N+1)\log 2\\\\ &=-\log 3+\log\left(1+1/2^N\right), \end{align} $$ then, letting $N \+\infty$, leads to $(1)$.

Observación. Uno puede ver que podemos generalizar $(1)$.