Simple pregunta acerca de $\Vdash \varphi$

Question

Deje $\mathbb{P}$ un poset. Los siguientes son equivalentes.

$(1)$ $p\Vdash \varphi$.

$(2)$ $\forall r\leq p(r\Vdash \varphi)$.

$(3)$ $\{r: r\Vdash \varphi\}$ es denso bajo $p$.

Estoy confuso cuando se trata de las declaraciones de la forma $\Vdash \varphi$ donde $p$ no aparece.

¿Qué significa $\Vdash \varphi$ ?

Puede que alguien me explique por favor. Gracias

Answer 1

Por lo general, cuando escribimos $\Vdash\varphi$ eso solo significa que cualquier $p\in\mathbb{P}$ fuerzas de $\varphi$ o, equivalentemente, $\{r;r\Vdash\varphi\}$ es denso en $\mathbb{P}$. Si $\mathbb{P}$ tiene un máximo del elemento $\mathbb{1}$, entonces también podemos escribir $\mathbb{1}\Vdash \varphi$$\Vdash\varphi$.