Demostrar que para cualquier $\lambda \neq 0$ y cualquier polinomio $p(z) \not\equiv 0,$ la función $g(z)=e^{\lambda z}-p(z)$ tiene infinitos ceros.
Mi enfoque: Supongamos por el contrario que $g$ tiene un número finito de ceros, en $a_j$ 's (decir) $$g(z)=\prod_{j=1}^{n} (z-a_j).$$ Por factorización de Hadamard $$g(z)=e^{h(z)} \cdot \prod_{j=1}^{n} (z-a_j),$$ para algún polinomio $h(z).$ No sé cómo llegar a una contradicción. Cualquier ayuda es muy apreciada.
El mismo planteamiento que en Demostrando que $e^z=z$ tiene infinitas soluciones se puede utilizar:
$h(z) = p(z) e^{-\lambda z}$ tiene una singularidad esencial en $z = \infty$ , y sólo tiene un número finito de ceros. Utilizando Gran Teorema de Picard se deduce que $h$ toma cualquier valor distinto de cero con una frecuencia infinita. En particular, $h(z) = 1$ tiene infinitas soluciones.
Esta es la conclusión deseada porque $h(z) = 1 \Longleftrightarrow e^{\lambda z} = p(z)$ .
@ Martin R gracias. Esto ayuda. Pero yo estaba buscando algo que evita los teoremas de Picard.
Una prueba alternativa: Si la afirmación es falsa, entonces $$ \tag{*} e^{\lambda z} - p(z) = q(z) e^{h(z)} $$ con polinomios distintos de cero $p, q$ y una función entera $h$ . Para simplificar la notación, supongamos que $\lambda = 1$ esto no es pérdida de generalidad. Entonces $$ e^{h(z)} = \frac{e^z - p(z)}{q(z)} $$ y para $|z| = r$ suficientemente grande, algunos $m \in \Bbb N$ y constantes reales positivas $C_1, \ldots, C_4$ $$ e^{\operatorname{Re}h(z)} = \lvert e^{h(z)} \rvert \le C_1 (\lvert e^z \rvert + C_2 r^m) \le C_1 ( e^r + C_2 r^m) \le C_3 e^r $$ y por lo tanto $$ \operatorname{Re }h(z) \le C_4 + r $$ para $|z| = r > R_0$ . Así que $$ A(r) :=\max_{|z|=r}\operatorname{Re}h(z) \le C_4 + r $$ Ahora usa
para estimar los coeficientes de Taylor de $h$ en términos de $A(r)$ y concluye que $h$ un polinomio de grado uno como máximo: $h(z) = az + b$ .
Por último, sustituya $h$ de nuevo en la ecuación $(*)$ y comparar el crecimiento de los distintos términos.
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Parece que el gran teorema de Picard será útil.
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@user1952009 gracias. Lo siento pero me cuesta entender el argumento asintótico.
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$g(z) = e^{h(z)} q(z)$ significa que su módulo máximo es del orden de $e^{c r^k} r^n$ . Obsérvese también que como $Re(\lambda z) \to +\infty: \ \log g(z) \to \lambda z$ y como $Re(\lambda z) \to -\infty$ : $\log g(z) \to (n-1)\log z$ . sugiere que $\int_{|z| = r} \frac{g'(z)}{g(z)} dz$ crece linealmente cuando $r \to \infty$ .