Límite de productos naturales en el infinito y uniforme de la continuidad

Question

Tengo que probar lo siguiente:

Deje $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser continua.

$\lim_{n\to\infty}f(n) = \infty$, $n\in\mathbb{N}$.

Deje $f$ ser uniformemente continua, demostrar que $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty,\ x\in\mathbb{R}$

Es claro para mí por qué el uniforme de la continuidad es necesaria, por ejemplo:

$f(x) = xsin(\frac{(4x-3)\pi}{2})$

$\forall n\in\mathbb{N},\ f(n) = n$

Pero, claramente, $f$ no tienden a infinito para todos los $x$.

Yo simplemente no puede obtener el uniforme de continuidad en nada de lo que me más cerca de la solución de este.

Ayuda por favor!

Answer 1

Por el uniforme de la continuidad de la $f$ existe $\delta > 0$ tal que para todo $x, y \in \mathbb R$, $|x - y| \leq \delta$ no tiene $|f(x)-f(y)| \leq 1$. Definir $M := \lceil \frac 1 \delta \rceil$. La idea es que cualquier $x \in [n, n+1]$ ($n \in \mathbb N$ arbitrario) es sólo un máximo de $M$ $\delta$-pasos de distancia de $n$ donde $M$ es independiente de $x$$n$. Por lo tanto, por el uniforme de la continuidad, la distancia entre el $f(x)$ $f(n)$ es menor que $M+1$.

Formalmente: Vamos A $K = \max \{k = 0, \ldots, M \mid n + \delta k \leq x \}$. Definir $x_k := n + \delta k$$k = 0, \ldots, K$$x_{K+1} := x$. Entonces $$\begin{align}|f(n) - f(x)| &= |f(x_0) - f(x_{K+1}) | \\ &= |f(x_0) - f(x_1) + f(x_1) - f(x_2) + \ldots + f(x_{K}) - f(x_{K+1}) |\\ &\leq |f(x_0) - f(x_1)| + \ldots +| f(x_K) - f(x_{K+1}) |\\ & \leq K+1 \\ &\leq M+1 \end{align}$$ donde el último segundo de la desigualdad sigue, ya $|x_k - x_{k+1}| \leq \delta$, por definición, y por lo tanto $|f(x_k) - f(x_{k+1})| \leq 1$ por el uniforme de la continuidad.

Por esta razón, $f(x_n) \to \infty$ para cualquier secuencia $x_n \to \infty$ por su exigencia de que $f(n) \to \infty$$n \to \infty$. Formalmente: Vamos a $C>0$ ser arbitraria. Debido a $f(n) \to \infty$ $n \to \infty$ existe $n_0 \in \mathbb N$ tal que $f(n) \geq C+M$ todos los $n \geq n_0$. Ahora vamos a $(x_k)$ ser una secuencia tal que $x_k \to \infty$. Luego hay un $k_0 \in \mathbb N$ tal que $x_k \geq N$ todos los $k \geq n_0$. Por nuestra consideración anterior no tiene $\left| f(x_k) - f(\lfloor x_k \rfloor)\right| \leq M$, por lo tanto $f(x_k) \geq f(\lfloor x_k \rfloor) - M \geq C + M -M = C$.