Por el uniforme de la continuidad de la $f$ existe $\delta > 0$ tal que para todo $x, y \in \mathbb R$, $|x - y| \leq \delta$ no tiene $|f(x)-f(y)| \leq 1$. Definir $M := \lceil \frac 1 \delta \rceil$. La idea es que cualquier $x \in [n, n+1]$ ($n \in \mathbb N$ arbitrario) es sólo un máximo de $M$ $\delta$-pasos de distancia de $n$ donde $M$ es independiente de $x$$n$. Por lo tanto, por el uniforme de la continuidad, la distancia entre el $f(x)$ $f(n)$ es menor que $M+1$.
Formalmente: Vamos A $K = \max \{k = 0, \ldots, M \mid n + \delta k \leq x \}$. Definir $x_k := n + \delta k$$k = 0, \ldots, K$$x_{K+1} := x$. Entonces
$$ \begin{align}|f(n) - f(x)| &= |f(x_0) - f(x_{K+1}) | \\
&= |f(x_0) - f(x_1) + f(x_1) - f(x_2) + \ldots + f(x_{K}) - f(x_{K+1}) |\\
&\leq |f(x_0) - f(x_1)| + \ldots +| f(x_K) - f(x_{K+1}) |\\
& \leq K+1 \\
&\leq M+1
\end{align}$$
donde el último segundo de la desigualdad sigue, ya $|x_k - x_{k+1}| \leq \delta$, por definición, y por lo tanto $|f(x_k) - f(x_{k+1})| \leq 1$ por el uniforme de la continuidad.
Por esta razón, $f(x_n) \to \infty$ para cualquier secuencia $x_n \to \infty$ por su exigencia de que $f(n) \to \infty$$n \to \infty$. Formalmente: Vamos a $C>0$ ser arbitraria. Debido a $f(n) \to \infty$ $n \to \infty$ existe $n_0 \in \mathbb N$ tal que $f(n) \geq C+M$ todos los $n \geq n_0$. Ahora vamos a $(x_k)$ ser una secuencia tal que $x_k \to \infty$. Luego hay un $k_0 \in \mathbb N$ tal que $x_k \geq N$ todos los $k \geq n_0$. Por nuestra consideración anterior no tiene $\left| f(x_k) - f(\lfloor x_k \rfloor)\right| \leq M$, por lo tanto $f(x_k) \geq f(\lfloor x_k \rfloor) - M \geq C + M -M = C$.
