Encuentra la longitud máxima de un segmento de línea encerrado en un área determinada

Question

$A = \{ (x, y) : x = u + v , y = v , (u^2) + (v^2) \le 1 \}$. Entonces, ¿cuál es la longitud máxima de un segmento de línea encerrado en esta área?

Mi amigo sugirió la respuesta$\sqrt{5}$, pero creo que debería ser mayor.

Answer 1

• $x = u+v$
• $y = v$
• $u^2+v^2 \le 1$

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• $u^2+v^2 \le 1 \implies u,v$ están dentro del círculo unitario, por lo tanto:

  • $-1 \leq u \leq 1$
  • $-1 \leq v \leq 1$
  • $-\sqrt{2} \leq u+v \leq \sqrt{2}$

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• Por lo tanto:

  • $-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$
  • $-1 \leq y \leq 1$

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La línea más larga dentro de este rectángulo es la diagonal de curso, que es igual a:

$$\sqrt{(2\sqrt{2})^2+2^2} = \sqrt{12}$$