Probar que$XY$ cruza los puntos medios

Question

$\triangle ABC$ tiene altitudes $AD$, $BE$, $CF$. Las reflexiones de $E$, $F$ en $H$ $E'$, $F'$. El círculo de $DE'F'$ cruza $BE$, $CF$ en $X$, $Y$. Demostrar que $XY$ pasa por los puntos medios de $AB$, $AC$.

Puedo mostrar que $XY$ es paralelo a $BC$ simplemente ángulo de persecución. $EYFX$ es cíclico, así como de $APFY$.

También traté de mostrar que $AP$=$PH+HD$

Answer 1

Tome el punto$C$ como el origen de un sistema de coordenadas cartesiano. Entonces vamos a$|PD|=a$. Basta con tener en cuenta que dado que la línea$XPY$ es paralela a la base del triángulo, su ecuación es$y=a$. Ahora que los puntos medios de$AC$ y$AB$ tienen coordenadas$(x_1,a)$ y$(x_2,a)$ respectivamente, está claro que están en la línea de interés. $\square$