¿Podemos encontrar$x$ y$y$ enteros positivos de manera que$f(x,y)$ es un entero estrictamente positivo

Question

Consideremos la función:

$$f(x,y)=\dfrac{axy+by+cx+d}{rxy+sy+hx+w}$$

Aquí $f(x,y)$ es la división de dos polinomios cuadráticos con el mismo grado

donde $a,b,c,d,r,,s,h,w$ son distintos de cero enteros.

Mi pregunta es:

(1) Dado $a,b,c,d,r,,s,h,w$ como los números enteros, podemos encontrar $x$ $y$ números racionales tales que $f(x,y)$ es un strictely entero positivo.

(2) $a,b,c,d,r,,s,h,w$ como los números enteros, podemos encontrar $x$ $y$ enteros positivos tales que a $f(x,y)$ es un strictely entero positivo.

agregar

Podemos suponer que $f$ es bijective con respecto a $x$ si $y$ es una constante y bijective con respecto a $y$ si $x$ es una constante.

Answer 1

El denominador puede ser el opuesto del numerador, por lo que la función es negativa constante. Tomemos por ejemplo la $$\frac{xy+x+y+1}{-xy-x-y-1}$$ de esta manera $f(x, y) = - 1$ y usted no tiene la oportunidad de encontrar ese $(x, y) $!

Permítanme declara un simple hecho: Para todos los fijos enteros $u, v$, existe un entero N del mismo signo de $u$ tal que para cada a $n$ del mismo signo de $u$ $|n|>|N|$ hemos

$$un+v >0 $$

Como corolario, tenemos : Si u, u' tienen el mismo signo, para cada v, v' existe n tal que un+v, u n+v' son positivos. Prueba. Tomar la N, N' dada por el anterior hecho: sabemos que tienen el mismo signo. Por lo tanto, si tomamos un n de el mismo signo de N, N', pero mayor en el módulo, tenemos $un+v, u'n+v'$ positivos.

Ahora voy a mostrar que si $a, r$ tienen el mismo signo, la respuesta es afirmativa en ambos casos. De hecho, elija $x$ del mismo signo de $a$, lo suficientemente grande de tal manera que ambos $ax+b, rx+s$ son positivos. A continuación puede encontrar $y$ en el lineal de las formas $(ax+b) y + (cx+d), (rx+s) y+(hx+w) $ son positivas, debido a que el coeficiente de $y$ tienen el mismo signo. En conclusión, el cociente

$$\frac{axy+by+cx+d}{rxy+sy+hx+w} $$

Es positivo!