Descomponer solución de pde en parte armónica y no armónica.

Question

Deje $w$ ser la solución de la pde \begin{equation} \begin{cases} \Delta w = f(w) & \mbox{on } \Omega \\ w=g & \mbox{on } \partial \Omega\end{casos} \etiqueta{1}\end{equation} donde: $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ abierto, $w: \Omega \to \mathbb{C}$, $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ y $g:\Omega \to \mathbb{C}$.

Recientemente, he leído que para algunos elíptica argumentos es conveniente descomponer la solución de algunos inhibidores de la pde como: \begin{equation} w=w_1+w_2 \end{equation}, donde \begin{equation} \begin{cases} \Delta w_1 =0 & \mbox{on } \Omega \\ w_1=w & \mbox{on } \partial \Omega \end{casos} \end{equation} y \begin{equation} \begin{cases} \Delta w_2 = f(w) & \mbox{on } \Omega \\ w_2=0 & \mbox{on } \partial \Omega \end{casos}. \end{equation}

Comprendo que a $w_1+w_2$ resuelve la ecuación original si existen tales funciones $w_1$$w_2$. Pero mi pregunta es:

¿Por qué cada solución de (1) se descompone de esa manera?

Answer 1

Espero que usted está familiarizado con el basic elíptica teoría (Lax-Milgram y teorema de espacios de Sobolev es todo lo que realmente necesita).

La ecuación de $w_1$ es simplemente la ecuación de Laplace con condiciones de contorno de Dirichlet $w$, y del mismo modo la ecuación de $w_2$ es la ecuación de Poisson con una fuente de plazo $f(w)$ cero y condiciones de frontera. Como ya hemos fijado una solución de $w$ a (1), existe una descomposición tan largo como $w$ $f(w)$ son lo suficientemente regulares como para los habituales elíptica existencia de la teoría a aplicar; por ejemplo,$w \in H^1(\Omega)$, $f(w) \in H^{-1}(\Omega)$.

De hecho, todo lo que realmente necesitamos es una de las condiciones anteriores: si, por ejemplo, $w \in H^1(\Omega)$ entonces tenemos una $w_1$ solución de una ecuación, y $w_2 := w - w_1$ inmediatamente resuelve el segundo. Puesto que la condición de contorno de (1) es$w=g$$\partial\Omega$, esto se reduce a sólo necesitan $g \in H^1(\Omega)$; es de esperar que esto es necesario para resolver (1) en primer lugar? Si no, entonces usted puede necesitar algunos hechos acerca de la regularidad de las soluciones de (1).