La explicación intuitiva del lema de Nakayama

Question

El lema de Nakayama establece que, dado un finamente generado $A$ -módulo $M$ y $J(A)$ el radical de Jacobson de $A$ con $I \subseteq J(A)$ algún ideal, entonces si $IM=M$ Tenemos $M=0$ .

He leído la prueba, y aunque es relativamente simple, no da mucha idea de por qué este lema debería ser cierto, por ejemplo - ¿hay alguna manera de ver cómo el hecho de que $J(A)$ es la intersección de todos los ideales máximos relacionados con el resultado?

Cualquier intuición sobre las condiciones y el resultado sería de gran ayuda.

Answer 1

Suponga que su módulo es de longitud finita. Entonces puedes considerar en él el llamado filtración radical que organiza el módulo en forma de cebolla, con elementos del ideal máximo que empujan a los elementos del módulo más adentro de su capa inicial a una justo debajo y, además, cada capa obtenida de la anterior de esta manera.

Ahora, la condición $\mathfrak m M=M$ te dice que la capa más externa del módulo está realmente vacía: obviamente, entonces, no hay mucho en el conjunto y $M=0$ . ¡Acabamos de descubrir el lema de Nakayama!

Si su módulo es arbitrario, ocurre exactamente lo mismo.

Answer 2

Aquí hay algo que puede o no tener sentido para ti. Sabes que todo ideal $I$ de un anillo conmutativo $R$ da lugar a un $R$ -Módulo $R/I$ Estos son precisamente los $R$ -en un generador. El $R$ -módulos de la forma $R/m$ donde $m$ es máxima son especiales entre estos. En este lenguaje, los elementos del radical de Jacobson son precisamente los que actúan trivialmente sobre todos los $R$ -módulos de la forma $R/m$ . Se deduce, por ejemplo, que si $I$ está en el radical de Jacobson, entonces no podemos tener $IM = M$ para cualquier módulo de la forma $R/m^k$ .

El lema de Nakayama afirma que una afirmación similar es cierta para todo generado finitamente $R$ -módulos. Esto debería ser razonable si se conoce, por ejemplo, la clasificación de los módulos finitamente generados $R$ -módulos cuando $R$ es un PID. La Wikipedia describe una interpretación geométrica de esto, pero no estoy lo suficientemente familiarizado con ella para decir más.

Answer 3

Mis dos favoritos para la teoría de grupos en física son:

1. Grupos de Mentira para Peatones para una introducción general a los grupos de Lie, sobre todo en un contexto de física de partículas.

2. Química Cuántica de Levine para una introducción a la teoría de grupos en las moléculas.

Answer 4

Existe una versión más primitiva y natural del lema de Nakayama:

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo, y $M$ sea una entidad finitamente generada $R$ -módulo y $I\subset R$ ser un ideal. Si $IM=M$ entonces $\exists f\in I,\forall m\in M,f\cdot m=m$ .

La prueba es un poco más difícil que la versión anterior, pero esto dice más o menos "Si $IM=M$ entonces uno de los elementos de $I$ estabiliza todos los elementos de $M$ ." Y creo que esto es mucho más natural que la versión anterior. Asumiendo esta versión, entonces podemos ver que la condición de "ideal de Jacobson" sólo se utiliza para mostrar que " $1-f$ es una unidad" que lleva a " $M=0$ ".

Para completar, doy una prueba de la versión anterior aquí:

Prueba: Dejemos que $m_1,...,m_n$ sea un conjunto de generadores de $M$ . Desde $IM=M$ tenemos una matriz $A'=(a_{ij})\in \textrm{M}_{n\times n}(R)$ tal que $A'\underline{m}=\underline{m}$ donde $\underline{m}=(m_1,...,m_n)^t$ y $a_{ij}\in I,\forall i,j\leq n$ . Ahora dejemos que $A=\textrm{Id}-A'$ por lo que tenemos $A\underline{m}=\underline{0}$ .

Tenga en cuenta que $\det A\in R$ está bien definida y existe una matriz $B\in \textrm{M}_{n\times n}(R)$ s.t. $BA=AB=\det A\cdot \textrm{Id}$ La prueba se encuentra en el Corolario 9.161 del libro Advanced Modern Algebra de Joseph J. Rotman. También $\det$ conmuta con el mapa cociente $R\rightarrow R/I$ con $A\equiv \textrm{Id} \ (\textrm{mod }I)$ podemos deducir que $\det A\in 1+I$ Así que $\exists f\in I$ , s.t. $\det A=1-f$ .

Para mostrar $f$ estabiliza $M$ basta con demostrar que $f\cdot m_i=m_i,\forall i$ . $$\underline{0}=BA\underline{m}=\det A\cdot \underline{m}=(1-f)\cdot \underline{m}$$ Así que $$f\cdot \underline{m}=\underline{m}$$ El resultado es el siguiente. Q.E.D

Answer 5

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http://mathoverflow.net/questions/61446/how-to-memorise-understand-nakayamas-lemma-and-its-corollaries