Necesito probar por definición (y nada más) que$$\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^4+y^4}{x^2+y^2} = 0.$ $
He estado atrapado en esto por casi una hora sin suerte, y me he quedado sin ideas. ¿Alguien puede ayudar o dar una pista?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Lord Shark the Unknown
Puntos
1571
Otro enfoque que es útil siempre que vea un denominador de$x^2+y^2$ es usar polares:$x=r\cos t$,$y=r\sin t$. Luego $$ \ frac {x ^ 4 + y ^ 4} {x ^ 2 + y ^ 2} = \ frac {r ^ 4 \ cos ^ 4t + r ^ 4 \ sin ^ 4t} {r ^ 2 \ cos ^ 2t + r ^ 2 \ sin ^ 2t} = r ^ 2 (\ sin ^ 4t + \ cos ^ 4t) $$ que es claramente$\le 2r^2$. Entonces, como$r\to0$ la función tiende a cero. (Aunque como señala Luiz, una desigualdad aún mayor es obvia).
Jukka Dahlbom
Puntos
1219
Tomar cualquiera $\epsilon > 0$. Supongamos que$\|(x,y) - (0,0)\|<\delta(\epsilon) = \sqrt{\epsilon/2}$, es decir que$x^2 + y^2 <\epsilon/2$. Tenemos $$ \ left | \ frac {x ^ 4 + y ^ 4} {x ^ 2 + y ^ 2} - 0 \ right | = \ left | \ frac {x ^ 4} {x ^ 2 + y ^ 2} + \ frac {y ^ 4} {x ^ 2 + y ^ 2} \ right | \ leq \ left | \ frac {x ^ 4} {x ^ 2 + y ^ 2} \ right | + \ left | \ frac {y ^ 4} {x ^ 2 + y ^ 2} \ right | \ leq \\ \ frac {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2 } + \ frac {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2} \ leq \\ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) <\ epsilon $$
Amr Ibrahim
Puntos
341
Thomas Coats
Puntos
141
Estas cosas siempre son mejores en forma polar ...
PS
Asumamos que$$\frac{x^4+y^4}{x^2+y^2} = \frac{r^4 (\sin^4 \theta + \cos^4 \theta)} {r^2} = r^2 (\sin^4 \theta + \cos^4 \theta) \leq 2r^2$, que es$\|(x,y)\| < \delta$ está dentro del disco abierto alrededor de$(x,y)$ con un radio de$0$.
Luego, utilizando la desigualdad anterior podemos garantizar que$\delta$ $ lo que a su vez significa que la imagen de$$\left\| \frac{x^4+y^4}{x^2+y^2} \right\| \leq 2\delta^2,$ está dentro del disco abierto alrededor de$(x,y)$ con un radio de$0$.
Por lo tanto, si obtiene un$2\delta^2$, y selecciona$0 < \epsilon$, tal que$\delta$, entonces$2\delta^2 < \epsilon$ $
