¿Por qué$(X,Y)$ no es un módulo proyectivo$\mathbb{Z}[X,Y]$ -?

Question

Este fue un problema de examen que tuve que me dejó perplejo. La pregunta fue probar que el ideal generado por$X$ y$Y$ en$\mathbb{Z}[X,Y]$ no es un módulo proyectivo$\mathbb{Z}[X,Y]$ -.

Estaba tratando de exhibir una secuencia exacta con el cuarto término$(X,Y)$ que no se dividió, pero llegó a un callejón sin salida.

Answer 1

Deje$R=\mathbb Z[X,Y]$ y$I=(X,Y)$. Hay una secuencia exacta corta de la izquierda$R$ - módulos$$0\to R\xrightarrow{f} R\oplus R\xrightarrow{g}I\to 0$$ with $ f (a) = (Ya, -Xa)$ and $ g (a, b) = aX + bY$ for all $ a$, $ b \ en R $.

Compruebe que no se divide.

Answer 2

Vamos a escribir $R=\mathbf Z[X,Y]$, $I=(X,Y)$. Dos estrategias:

Primera estrategia: Vamos a $M$ ser el libre $R$-módulo de rango $2$, con generadores $u$$v$. Considere la secuencia exacta

$$0 \to K \to M \to I \to 0 $$

donde $u \mapsto X$, $v \mapsto Y$, y $K$ es el núcleo. Demostrar que $K$ es libre de rango $1$, generado por $Yu-Xv$. Demostrar que la secuencia no es dividir a la izquierda. (En una división de $M\to K$, donde podría $u$ $v$ ir? Mira grados de los polinomios...)

Segunda estrategia: Demostrar que $I$ no es plana. Se puede encontrar un ideal $J\subseteq R$ de manera tal que el natural mapa de $J\otimes_R I \to I$ no es inyectiva?