Cómo evaluar la integral $\int_{0}^{\infty}\frac{\sin{(ax)}}{x^b} dx$

Question

Evaluar la integral $$\int_0^\infty \dfrac{\sin(ax)}{x^b} \, dx,\quad a\in \mathbb{R},\quad 0<b<2.$$

Lo sé. $a=1$ y $ b\in \mathbb{N}$ Puedo encontrar el valor,

Cómo evaluar esta integral para el general $a,b$ ? Gracias.

Answer 1

Proceso 1 : $$\int_0^\infty \dfrac{\sin(ax)}{x^b} \, dx.$$$$ =-\Im\left(\int_0^infty\large e^{-iax}x^{-b}\, dx\right) $$$$=-\Im\left(\frac{1}{(ia)^{1-b}}\int_0^\infty\large e^{-t}t^{-b}\, dt\right)$$$$ =-\Im\left(\frac{1}{(ia)^{1-b}}\Gamma(1-b)\right)=a^{b-1}\Gamma(1-b)\cos \left({\pi b\over 2}\right)$$

Proceso 2 : Utilice Transformación Mellin .

Déjalo, $$I(a,b)=\int_0^\infty \dfrac{\sin(ax)}{x^b} \, dx=a^{b-1}\int_0^\infty \sin(x)x^{-b}\,dx$$ Ahora, utilizando la transformación de Mellin de $\sin x$ tendremos, $$I(a,b)=a^{b-1}\Gamma(1-b)\sin\left(\frac{\pi(1-b)}{2}\right)=a^{b-1}\Gamma(1-b)\cos \left({\pi b\over 2}\right)$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $\sin x$ puede descomponerse en los exponentes $\exp(\pm i a x)$ y transformando $i a x\to t$ se obtiene una integral que es equivalente a la Función gamma incompleta .