Evaluar

Question

El motivo es evaluar el siguiente límite:

PS

Lo escribi como

PS

Ahora es esto correcto? No me parece muy correcto. Gracias por tus pensamientos :)

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Oliver Oloa dio una pista sobre el teorema de Sandwich pero eliminó la respuesta.

PS

Usando esto, creo que obtenemos$$\lim_{n\to \infty}\sum_{r=1}^{n} \frac{r}{n^2 + n + r}$, así que el límite es$$ \lim_{n\to \infty}\sum_{r=1}^{n}\frac{r/n}{1 + 1/n + r/n^2} \approx ^{?} \int_{0} ^{1} x \, dx = \frac{1}{2}$.

Answer 1

Oliver Oloa dio una pista sobre el teorema de Sandwich pero eliminó la respuesta.

PS

Usando esto obtenemos:

PS

Entonces, como$$\sum_{r=1}^{n} \frac{r}{n^2 + n + n} \le \sum_{r=1}^{n} \frac{r}{n^2 + n + r} \le \sum_{r=1}^{n} \frac{r}{n^2 + n + 1}$ el límite es$$ \frac{n(n+1)}{2(n^2 + n + n)} \le \sum_{r=1}^{n} \frac{r}{n^2 + n + r} \le \frac{n(n+1)}{2(n^2 + n + 1)}$

Answer 2

Sugerencia También se puede escribir $$ \ sum_ {r = 1} ^ {n} \ frac {r} {n ^ 2 + n + r} = (n ^ 2 + n) \ left (H_ {n ^ 2 + n} -H_ {n ^ 2 +2n} \ right) + n$$ and conclude, as $ n \ to \ infty $, con los asintóticos $$ H_n = \ ln n + \ gamma + \ frac1 {2n} + O \ left (\ frac1 {n ^ 2} \ derecha). $$

Answer 3

El límite es$\frac{1}{2}$, ya que$\sum_{r=1}^{n}r = \frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n$ y tanto$n^2+2n$ como$n^2+n+1$ son$n^2+O(n)$.