Integral inferior de la función de Dirichlet

Question

Reclamación:

La integral inferior de la función de Dirichlet es$0$. Considerar el conjunto

PS

Intento:

Supongamos que$$A=\left\{ \int_a^b s_n\mid s_n \text{ is simple function and }s_n\leq f \text{ on }[a,b]\right\}.$ no es la integral más baja, entonces debe haber alguna función simple$0$ st$k$$$\underline{\int}_a^b k(x)>0$ k (x)> 0$ I showed that this implies $ [a, b ] $ por examinar su suma agregada. Aquí es donde no puedo proceder.

¿Qué debería hacer después?

Answer 1

Sugerencia: los irracionales son densos en$\mathbb R$, por lo que para cualquier intervalo$[a,b] \subset \mathbb R$ se encontrarán irracionales allí.

Answer 2

Si estamos hablando de la integral de Darboux, la integral inferior es$0$. Esto es así porque, independientemente de la división específica de$[a,b]$, el valor mínimo de$f$ siempre es$0$ sobre los intervalos sub porque habrá irracionales en los intervalos sub. La integral superior es$1$ porque habrá racionales en los intervalos sub.