Rangos de operadores de proyección.

Question

Supongamos que $X$ es un espacio de Banach y $P$ $Q$ ser delimitada de proyecciones lineales en $X$ tal que $PQ$ $QP$ son compactos. De lo anterior se sigue que el $PQ$ $QP$ son finitos-clasificación de los operadores?

Mi intento: yo creo que tanto $PQ$ $QP$ han cerrado gama por lo que si el rango de uno de ellos no finito-dimensional, nos encontraríamos con un delimitada secuencia en la que sin convergente larga.

Está bien? Si es así, podemos encontrar una proyección de $R$ con finito-dimensional rango tal que $PQ$ $QP$ viajan en la imagen de $I-R$?

Answer 1

Deje $H$ ser un infinito-dimensional espacio de Hilbert separable. Deje $\{E_{kj}\}$ ser canónica de la serie de la matriz de unidades. Vamos $$ X=\sum_{k=1}^\infty \frac1k\,E_{2k,2k+1}, \ \ \ E=\sum_{k=1}^\infty E_{2k,2k} $$ y vamos a $P=E+X$, $Q=I-E+X^*$. Tenga en cuenta que $X^2=0$, $EX=X$, y $XE=0$, por lo que $$ P^2=P, Q^2=P. $$ También, $$ PQ=E(I-E)+EX^*+X(I-E)+XX^*=X+XX^*, $$ $$ QP=(I-E)E+(I-E)X+X^*E+X^*X=X^*+X^*X. $$ Por lo tanto $PQ$ $QP$ son compactos, pero no finita-rank.

Esto puede ayudar a ver como directo de sumas: $$ P=0\oplus\bigoplus_{k=1}^\infty\begin{bmatrix}1&1/k\\0&0\end{bmatrix},\ \ Q=1\oplus\bigoplus_{k=1}^\infty\begin{bmatrix}0&0\\1/k&1\end{bmatrix}, $$ y, a continuación, $$ PQ=0\oplus\bigoplus_{k=1}^\infty \begin{bmatrix}1/k^2&1/k\\0&0\end{bmatrix}, $$ $$ QP=0\oplus\bigoplus_{k=1}^\infty \begin{bmatrix}0&0\\1/k&1/k^2\end{bmatrix}. $$