Probabilidad condicional: Dos mueren elegidas al azar con caras rojas y azules

Question

He estado pasando y haciendo algunos (no evaluado) preguntas sobre los deberes, pero estoy realmente atascado en la probabilidad condicional. El siguiente problema es que simplemente no puedo conseguir mi cabeza alrededor.

Pregunta: Mueren cuatro rojas y dos azules caras, y mueren B tiene dos rojas y cuatro azules caras. Uno de los dados es seleccionado al azar para su uso.

i). ¿Cuál es la probabilidad de que el rojo es lanzado?

ii). Si los dos primeros tiros resultó en rojo, ¿cuál es la probabilidad de rojo para el tercer lanzamiento?

Yo era capaz de conseguir que yo), no hay problemas, todo salió como 1/2. La segunda parte me ha perdido completamente, aunque.

Answer 1

Para la parte dos, empezar por considerar la pregunta: "¿Cuál es la probabilidad de que dos tiros de resultados en dos de los rojos?"

Desde que Morir Una tiene un $2/3$ probabilidad de proveer rojo, y Mueren B tiene un $1/3$ probabilidad de proveer rojo. Así:

$P(\text{2 reds}\ |\ A) = (2/3) \times (2/3) = 4/9$

$P(\text{2 reds}\ |\ B) = (1/3) \times (1/3) = 1/9$

La probabilidad de recibir dos de los rojos en el primer lugar es la mitad de la probabilidad de anotar dos de los rojos con morir Una más de la mitad de la probabilidad de anotar dos de los rojos con die B, ya que ambos dados seleccionado con probabilidad igual:

$P(\text{2 reds}) = (1/2) \times (4/9) + (1/2) \times (1/9) = (4/18) + (1/18) = 5/18$

Ahora que conocemos $P(\text{2 reds})$$P(\text{2 reds}\ |\ A)$, podemos utilizar el teorema de Bayes para calcular $P(A\ |\ \text{2 reds})$:

$P(A\ |\ \text{2 reds}) = \frac{P(\text{2 reds}\ |\ A) \times P(A)}{P(\text{2 reds})} = \frac{(4/9) \times (1/2)}{5/18} = \frac{4/18}{5/18} = 4/5$

Por lo tanto, estamos utilizando morir Un con $4/5$ de probabilidad, die B con $1/5$ de probabilidad. Finalmente, la probabilidad de conseguir la tercera red se puede calcular:

$P(\text{rojo}\ |\ \text{2 rojos}) = P(a\ |\ \text{2 rojos}) \times (2/3) + P(B\ |\ \text{2 rojos}) \times (1/3)\\ =(4/5) \times (2/3) + (1/5) \times (1/3) = (8/15) + (1/15) = 9/15 = 3/5$

Answer 2

Consejos:

Deje que$R_{i}$ denote el evento que arrojó$i$ resultados en rojo. Deje que$A$ denote el evento que se seleccionó para usar a$A$. Deje que$B$ denote el evento que se seleccionó para usar a$B$. Estás buscando $\Pr\left(R_{3}\mid R_{1}\cap R_{2}\right)$

• $\Pr\left(R_{3}\mid R_{1}\cap R_{2}\right)=\frac{\Pr\left(R_{1}\cap R_{2}\cap R_{3}\right)}{\Pr\left(R_{1}\cap R_{2}\right)}$

• $\Pr\left(R_{1}\cap R_{2}\right)=\Pr\left(R_{1}\cap R_{2}\mid A\right)\Pr\left(A\right)+\Pr\left(R_{1}\cap R_{2}\mid B\right)\Pr\left(B\right)$

• $\Pr\left(R_{1}\cap R_{2}\cap R_{3}\right)=\Pr\left(R_{1}\cap R_{2}\cap R_{3}\mid A\right)\Pr\left(A\right)+\Pr\left(R_{1}\cap R_{2}\cap R_{3}\mid B\right)\Pr\left(B\right)$

Answer 3

Hay una suposición tácita de la declaración "uno de los dados es seleccionado al azar antes de uso": los mismos dados se utiliza en todos los tres tiros. Si el dado es elegido de forma individual antes de cada tiro, como algunos podrían interpretar, la lanza sería independiente y la respuesta a (ii) $\frac12$, ya que yo lo hice en una versión anterior de la respuesta.

Aquí es una derivación de la respuesta correcta que es un poco más intuitivo. Dos de los rojos han demostrado. La probabilidad de que los dados causó Un es $\left(\frac23\right)^2=\frac49$, mientras que la probabilidad de que los dados B causado es $\left(\frac13\right)^2=\frac19$. En otras palabras, dados es 4 veces más probabilidades de haber sido seleccionado de dados B.

La probabilidad de que salga el rojo en el tercer lanzamiento es entonces la suma de $\frac45\times\frac23$ (para los dados) y $\frac15\times\frac13$ (para los dados B), que evalúa a $\frac35$.