Estoy un poco confundida en cuanto a este problema:
Considerar la serie infinita:
$$\left(1 - \frac 12\right) + \left(\frac 12 - \frac 13\right) + \left(\frac 13 - \frac 14\right) \cdots$$
a) halle la suma de $S_n$ de la primera $n$ términos.
b) Hallar la suma de esta serie infinita.
Yo no puedo pasar de la parte a) - o más bien debería decir que no estoy seguro de cómo hacerlo más.
Porque el problema pide una suma de la serie infinita, estoy suponiendo que la serie debe ser Geométricas, así que traté de encontrar la razón común basado en la fórmula
$$r = S_n / S_{n-1} = \frac{\frac 12 - \frac 13}{1 - \frac 12} = \frac 13$$
Lo cual está bien, pero cuando voy a comprobar la relación de la 3ª y la 2ª términos:
$$r = \frac{\frac 13 - \frac 14}{\frac 12 - \frac 13} =\frac 12$$
Así que la relación no es constante... traté de encontrar una diferencia común en lugar de eso, pero la diferencia entre los 2 términos consecutivos no era constante.
Me siento como que tengo que estar haciendo algo mal o de lo contrario, le falta algo, porque viendo el problema, me doy cuenta de que los términos tienen un patrón:
$$\left(1 - \frac 12\right) + \left(\frac 12 - \frac 13\right) + \left(\frac 13 - \frac 14\right) + \cdots + \left(\frac 1n - \frac{1}{n+1}\right)$$
Que es una reminiscencia de los libros de texto de prueba de la ecuación que se obtiene de la suma de los primeros a $n$ términos de una progresión geométrica, donde cada término, además de a $a_1$ $a_n$ cancelar y rendimiento
$$a_1 \times \frac{1 - r^n}{1 - r}.$$
Pero no sé realmente saben cómo proceder en este punto, ya que no puedo encontrar una razón común o la diferencia.