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Suma de una serie infinita $(1 - \frac 12) + (\frac 12 - \frac 13) + \cdots$ - no geométrica de la serie?

Estoy un poco confundida en cuanto a este problema:

Considerar la serie infinita:

$$\left(1 - \frac 12\right) + \left(\frac 12 - \frac 13\right) + \left(\frac 13 - \frac 14\right) \cdots$$

a) halle la suma de $S_n$ de la primera $n$ términos.

b) Hallar la suma de esta serie infinita.

Yo no puedo pasar de la parte a) - o más bien debería decir que no estoy seguro de cómo hacerlo más.

Porque el problema pide una suma de la serie infinita, estoy suponiendo que la serie debe ser Geométricas, así que traté de encontrar la razón común basado en la fórmula

$$r = S_n / S_{n-1} = \frac{\frac 12 - \frac 13}{1 - \frac 12} = \frac 13$$

Lo cual está bien, pero cuando voy a comprobar la relación de la 3ª y la 2ª términos:

$$r = \frac{\frac 13 - \frac 14}{\frac 12 - \frac 13} =\frac 12$$

Así que la relación no es constante... traté de encontrar una diferencia común en lugar de eso, pero la diferencia entre los 2 términos consecutivos no era constante.

Me siento como que tengo que estar haciendo algo mal o de lo contrario, le falta algo, porque viendo el problema, me doy cuenta de que los términos tienen un patrón:

$$\left(1 - \frac 12\right) + \left(\frac 12 - \frac 13\right) + \left(\frac 13 - \frac 14\right) + \cdots + \left(\frac 1n - \frac{1}{n+1}\right)$$

Que es una reminiscencia de los libros de texto de prueba de la ecuación que se obtiene de la suma de los primeros a $n$ términos de una progresión geométrica, donde cada término, además de a $a_1$ $a_n$ cancelar y rendimiento

$$a_1 \times \frac{1 - r^n}{1 - r}.$$

Pero no sé realmente saben cómo proceder en este punto, ya que no puedo encontrar una razón común o la diferencia.

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Nikhil Puntos 2517

$$\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac14\right) +\cdots +\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) $$ $$ = 1-\frac12+\frac12-\frac13+\frac13-\frac14+\frac14 -\cdots +\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$ $$ = 1-\left(\frac12-\frac12\right)-\left(\frac13-\frac13\right)-\left(\frac14-\frac14\right)-\space \cdots \space - \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n+1}$$

Observe cómo cada uno de los términos entre paréntesis es cero, así que nos quedamos con: $$\boxed{\text{Sum of first n terms: }1-\frac{1}{n+1}}$$

Si queremos que la infinita suma debemos tomar el límite de $n \to \infty$ porque $n$ es el número de términos de la secuencia. Así que como $n$ se hace arbitrariamente grande, $\dfrac{1}{n}$ tiende a $0$ así tenemos que la secuencia de finito de sumas enfoques: $$1-0 = \boxed{1}$$


No todas las series infinitas necesitan ser aritmética o geométrica! Este especial de una que se llama una telescópico de la serie.

6voto

Mike Godin Puntos 303

Esta no es una serie geométrica, esto es un telescópico de la serie.

$$a_{n}=\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$$

Tenga en cuenta que

$$\sum_{j=1}^{n}a_{j}=1-\frac{1}{n+1}$$

Usted puede comenzar a ver el patrón con

$$\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=1-\frac{1}{3}$$

Ahora tomando el límite de la secuencia de sumas finitas

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{j=1}^{n}a_{j}=1$$

5voto

Graham Kemp Puntos 29085

En primer lugar, lo que importa es lo que tú consideras un 'plazo' en esta serie. Vamos a usar considerar que los elementos entre paréntesis constituyen los términos.

Se da la secuencia: $\{1-\tfrac 1 2, \tfrac 1 2-\tfrac 1 3, \tfrac 1 3-\tfrac 1 4, \ldots, \tfrac 1 n-\tfrac 1{n+1},\ldots\}$

Esto es equivalente a $\{\tfrac 1 2, \tfrac 1{6}, \tfrac 1 {12}, \ldots, \tfrac 1{n(n+1)}, \ldots\}$

De modo que la suma parcial es: $S_n = \sum_{k=1}^n \tfrac 1 {k(k+1)} = \tfrac n{n+1}$

$$\{S_n\} = \{\tfrac 1 2, \tfrac 2{3}, \tfrac 3{4}, \ldots, \tfrac n{n+1}, \ldots\}$$

Puede evaluar de $S_\infty = \lim_{n\to\infty} S_n$ ?


PS: También note que $$\require{cancel} 1 \cancel{-\tfrac 1 2+\tfrac 12} \cancel{- \tfrac 1 3 + \tfrac 1 3} \cancel{- \tfrac 1 4 + \tfrac 14} - \ldots = 1$$

4voto

Dr. MV Puntos 34555

Tee término general $a_k$$a_k=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$. Así, por ejemplo, para $k=1$ el primer término es $a_1=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$. El siguiente término es$k=2$$a_2=\frac12-\frac13$. La suma de la primera $n$ términos, hemos

$$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{n+1}$$

Podemos ver que como $n\to \infty$, la serie se aproxima a $1$.

1voto

Dada una serie infinita, $$\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\ldots $$ The $n$th term say $T_{n}$ of the above series can be given as $$T_{n}=\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$$ por lo tanto, tenemos

  1. La suma de $S_{n}$ $n$ términos como sigue $$S_{n}=\sum_{n=1}^n T_{n}$$$$=\sum_{n=1}^n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$$ $$=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$$ $$=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\color{blue}{\frac{n}{n+1}}$$
  2. La suma de $S_{\infty}$ de los infinitos términos se calcula tomando el límite de $S_n$ $n\to \infty$ como sigue $$S_{\infty}=\lim_{n\to \infty}S_{n}$$ $$=\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)$$ $$=\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)$$ Now, let $\frac{1}{n}=t \implica t\0 \, como \ n\to \infty$ $$=\lim_{t\to 0}\left(\frac{1}{1+t}\right)$$ $$=\left(\frac{1}{1+0}\right)=\color{blue}{1}$$

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