Expansión asintótica de la integral en función de un parámetro.

Question

Me gustaría encontrar un equivalente (primer término de una expansión asintótica) de la siguiente función en$x=0$ y$x=1$:

PS

Mi profesor dio una solución altamente desmotivada que no invoca las herramientas habituales para encontrar expansiones asympto tic de integrales en función de algún parámetro.

Me interesaría una solución elemental, pero motivada.

Answer 1

En este documento se presenta un camino a seguir, que se basa en un análisis elemental sólo, para obtener los tres primeros términos de la "pequeña $x$" la expansión de la función de interés. Para ello, vamos a proceder.

---

Para $x>0$, tenemos

$$\begin{align} f(x)&=\int_0^\infty \frac{e^{-x\log(t)}}{\sqrt{t^2+1}}\,dt\\\\ &=\int_0^1 \frac{e^{-x\log(t)}}{\sqrt{t^2+1}}\,dt+\int_1^\infty \frac{e^{-x\log(t)}}{\sqrt{t^2+1}}\,dt\\\\ &=\int_0^1 \frac{e^{-x\log(t)}}{\sqrt{t^2+1}}\,dt+\int_0^1 \frac{e^{x\log(t)}}{t\sqrt{t^2+1}}\,dt\tag1 \end{align}$$

---

El primer término en el lado derecho de la $(1)$ se porta bien cerca de $x=0^+$ con

$$\begin{align} \int_0^1 \frac{e^{-x\log(t)}}{\sqrt{t^2+1}}\,dt&=\text{arsinh}(1)-x\int_0^1 \frac{\log(t)}{\sqrt{1+t^2}}\,dt+O(x^2)\\\\ &=\text{arsinh}(1)-x\int_0^{\pi/4} \log(\tan(\phi))\,\sec(\phi)\,d\phi+O(x^2)\tag2 \end{align}$$

---

El segundo término en el lado derecho de la $(1)$ puede ser escrito como

$$\begin{align} \int_0^1 \frac{e^{x\log(t)}}{t\sqrt{t^2+1}}\,dt&=\int_0^1 \frac{e^{x\log(t)}}{t}\,dt-\int_0^1 \frac{e^{x\log(t)}}{t}\left(1-\left(1+t^2\right)^{-1/2}\right)\,dt\\\\ &=\frac1x -\int_0^1 \frac{1-\left(1+t^2\right)^{-1/2}}{t}\,dt-x\int_0^1 \frac{(1-\left(1+t^2\right)^{-1/2})\,\log(t)}{t}\,dt+O(x^2)\\\\ &=\frac1x -\text{arsinh}(1)+\log(2)-x\int_0^{\pi/4}\log(\tan(\phi))\,\sec(\phi)\frac{1-\cos(\phi)}{\sin(\phi)}\,d\phi+O(x^2)\tag3 \end{align}$$

---

Sustituyendo $(2)$ $(3)$ a $(1)$ revela

$$\begin{align} f(x)&=\frac1x +\log(2) -x\int_0^{\pi/4}\log(\tan(\phi))\,\sec(\phi)\left(1+\frac{1-\cos(\phi)}{\sin(\phi)}\right)\,d\phi+O(x^2)\\\\ &=\frac1x +\log(2) +\frac1{12}\left(\pi^2+6\log^2(2)\right)\,x+O(x^2) \end{align}$$

Answer 2

Esto se ve como un tedioso cálculo, por lo que recurrir al álgebra computacional que nos encontramos (por $0 < x < 1$):

$f(x) = \frac{\Gamma \left(\frac{1}{2}-\frac{x}{2}\right) \Gamma \left(\frac{x}{2}\right)}{2 \sqrt{\pi }}$.

Aviso de que es simétrica con respecto a $x = 1/2$.

Los tres primeros términos de la expansión en torno a $x=0$ son:

$f(x) \approx \frac{1}{x}+\log (2)+\frac{1}{12} x \left(\pi ^2+6 \log ^2(2)\right)+\frac{1}{12} x^2 \left(3 \zeta (3)+2 \log ^3(2)+\pi ^2 \log (2)\right)+O\left(x^3\right)$

Answer 3

$f$ se define en$(0,1)$, y es simétrico con respecto a$x={1\over2}$ desde \begin{align} f(x)&=\int_0^{1} \frac{1}{t^x\sqrt{1+t^2}}dt+\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^x\sqrt{1+t^2}}dt\\ &=\int_0^{1} \frac{1}{t^x\sqrt{1+t^2}}dt+\int_0^{1} \frac{1}{s^{1-x}\sqrt{1+s^2}}ds\\ \end {align} por lo tanto, podemos estudiar en un solo lado, aquí elegimos$x\to0^+$, entonces tenemos \begin{align} f(x)&=\int_0^{1} \frac{1}{s^{1-x}\sqrt{1+s^2}}ds+\operatorname{arsinh}(1)+o(1)\\ &=[{s^x\over x}\frac{1}{\sqrt{1+s^2}}]_0^1+{1\over x}\int_0^{1}\frac{s^{x+1}}{(1+s^2)^{3/2}}ds+\ln(1+\sqrt{2})+o(1)\\ &={1\over \sqrt{2}x}+{1\over x}(1-{1\over \sqrt{2}})+o({1\over x})\\ &={1\over x}+o({1\over x}) \end {align}