Descomposición de un número primo en un campo ciclotómico

Question

Deje $l$ ser impar el primer número y $\zeta$ ser una primitiva $l$-ésima raíz de la unidad en la $\mathbb{C}$. Deje $A$ ser el anillo de enteros algebraicos en $\mathbb{Q}(\zeta)$. Deje $p$ ser un número primo tal que $p \neq l$. Deje $f$ ser el menor entero positivo tal que $p^f \equiv 1$ (mod $l$). A continuación, $pA = P_1...P_r$ donde $P_i's$ son distintos primer ideales de $A$ y cada una de las $P_i$ tiene el grado $f$$r = (l - 1)/f$.

Mi pregunta: ¿Cómo puedes demostrarlo?

Esta es una pregunta relacionada.

Answer 1

Deje $X^l - 1 \in \mathbb{Z}[X]$. Desde $(X^l - 1)' = lX^{l-1}$, $X^l - 1$ no tiene múltiples irreductible factor de mod $p$. Desde $X^l - 1 = (X - 1)(1 + X + ... + X^{l-1})$, $1 + X + ... + X^{l-1}$ no tiene múltiples irreductible factor de mod $p$. Deje $1 + X + ... + X^{l-1} \equiv f_1(X)...f_r(X)$ (mod $p$), donde $f_i(X)$ es un monic polinomio irreducible de mod $p$. Por la respuesta a esta pregunta, el grado de cada una de las $f_i(X)$$f$. Por esta cuestión, $P_i = (p, f_i(\zeta))$ es un primer ideal de $\mathbb{Z}[\zeta]$ se encuentra por encima del $p\mathbb{Z}$. Es fácil ver que $\mathbb{Z}[\zeta]/P_i$ es una extensión finita de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ grado $f$. Es bien sabido que $\mathbb{Z}[\zeta]$ es el anillo de enteros algebraicos en $\mathbb{Q}[\zeta]$. También es bien sabido que cada una de las $P_i$ tiene el mismo índice de ramificación $e$ $l - 1 = efg$ donde $g$ es el número del primer ideales de $\mathbb{Z}[\zeta]$ se encuentra por encima del $p\mathbb{Z}$. Desde $l - 1 = fr$, $e = 1$ y $r = g$. Por lo tanto $p\mathbb{Z} = P_1\cdots P_r$$\mathbb{Z}[\zeta]$.

Answer 2

Una vez que usted sepa lo que el anillo de enteros en $\mathbf{Q}(\zeta)$, usted sabe que la factorización de un racional prime $p$ en el mismo está determinado por la factorización del polinomio mínimo de a$\zeta$$\mathbf{Q}$, que es el cyclotomic polinomio $\Phi_\ell$ mod $p$. Así que, básicamente, sólo hay que determinar el grado de la división de campo de más de $\mathbf{F}_p[X]$ de la imagen de $\Phi_\ell$$\mathbf{F}_p$. El grado es el $f$ en su pregunta. Esto puede ser determinada utilizando la teoría de Galois de finito campos, principalmente el hecho de que el grupo de Galois es cíclico con un canónica generador. Los detalles se llevan a cabo en muchos libros, por ejemplo, Neukrich el libro sobre la teoría algebraica de números.