Números enteros de la forma $a^2-b^2$ ?

Question

Me gustaría saber si existe una fórmula para calcular la cardinalidad del conjunto de todos los números de la forma $a^2-b^2$ tal que $a^2-b^2\leq n$ y $b\leq a$ .

Numéricamente encontré algo alrededor de $3n/4$ .

Gracias.

Answer 1

Observe que $a^2-b^2\equiv 0,1,3\pmod4$ y cada número $r\equiv 0,1,3\pmod4$ tiene una representación de la forma anterior. Para la demostración observe las siguientes dos identidades $$ (k+1)^2-k^2=2k+1,(k+1)^2-(k-1)^2=4k $$

Answer 2

Cada número impar es la diferencia de dos cuadrados. A saber, $$2k+1=(k+1)^2-k^2$$

Cada múltiplo de $4$ es también la diferencia de dos cuadrados: $$4k=(k+1)^2-(k-1)^2$$

Pero un número par que no es múltiplo de $4$ no es la diferencia de dos cuadrados cualesquiera, ya que $$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$ y ambos factores tienen la misma paridad.

Así que un número entero es la diferencia de dos cuadrados si no es congruente con $2$ mod $4$ .

Answer 3

Es todo de forma $4k,4k+1$ y $4k+3$ por lo que la cardinalidad es floor( ${3n\over4}+{5\over4}$ ).

todo de $4k$ es alcanzable por $a=k+1,b=k-1$ y si $k=0,a=b$ .

todo de $4k+1$ es alcanzable por $a=2k+1, b=2k$ .

todo de $4k+3$ por $a=2k+2,b=2k+1$ .