¿Por qué diverge$\int_{-\infty}^{\infty}\ x\ dx$?

Question

¿Por qué diverge$\int_{-\infty}^{\infty}\ x\ dx\;$?

Soy consciente de que cuando encuentras el valor principal que es igual a$0$ porque creas un límite, pero todavía no estoy seguro de por qué divergiría (como lo indica mi libro de texto).

Answer 1

El valor principal de cauchy es igual a cero. Pero para que la integral exista (y tenga el valor$I$) debe darse el caso de que $$\ int_ {a_n} ^ {b_n} \ x \ dx \ a I.$$ como$n\to\infty$ para todas las secuencias donde$a_n\to-\infty$ y$b_n\to\infty$. Pero $$\ int _ {- n} ^ {n} \ x \ dx \ a 0$$ mientras que $$\ int _ {- n} ^ {n ^ 2} \ x \ dx = \ frac {1} {2} (n ^ 4-n ^ 2) \ a \ infty$$ como$n\to\infty$

Answer 2

Usted probablemente asumen que desde $-\infty$ $+\infty$ son inversos aditivos y el integrando es una función impar, la integral debe ser cero. Pero el infinito no funciona así; $-\infty$ $+\infty$ son no de números, pero la limitación de condiciones. Para obtener la integral dada a converger todas las combinaciones de la limitación de los casos conduce a un límite inferior de $-\infty$ y un límite superior de $+\infty$ debe estar de acuerdo. Ciertamente, si seleccionamos los límites inferior y superior $a=-M, b=+M, M\rightarrow +\infty$ en efecto, entonces la integral es cero para que el caso límite. Pero por otro limitando el caso, digamos,$a=-M, b=+2M$, la integral es en ninguna parte cerca de la convergencia a cero. Así que, no dados en la convergencia.

Answer 3

Mientras que$\int_{-n}^{n} x \ dx = 0$ para todos n.

pero $\int_{-n}^{n} x \ dx = \int_{-n}^{0} x \ dx + \int_{0}^{n} x \ dx$

Si vamos a hablar de la convergencia integral o

$\lim_\limits {n\to\infty} \int_{-n}^{n} f(x) \ dx$ existente entonces

$\ lim_ \ limits {n \ to \ infty} \ int _ {- n} ^ {a} f (x) \ dx + \ lim_ \ limits {n \ to \ infty} \ int_ {a} ^ {n} f (x) \ dx$

Debe existir también.