Puedo demostrar la convergencia de las siguientes infinita de productos y algunos de los límites para:
$$\prod_{k \geq 2}\sqrt[k]{1+\frac{1}{k}}=\sqrt{1+\frac{1}{2}} \sqrt[3]{1+\frac{1}{3}} \sqrt[4]{1+\frac{1}{4}} \cdots<$$
$$<\left(1+\frac{1}{4} \right)\left(1+\frac{1}{9} \right)\left(1+\frac{1}{16} \right)\cdots=\prod_{k \geq 2} \left(1+\frac{1}{k^2} \right)=\frac{\sinh \pi}{2 \pi}=1.83804$$
Aquí he utilizado Euler del producto para $\frac{\sin x}{x}$.
El siguiente límite superior no es tan fácil de evaluar, pero todavía es posible, tomar dos más términos de la serie de Taylor para $\sqrt[k]{1+\frac{1}{k} }$:
$$\prod_{k \geq 2}\sqrt[k]{1+\frac{1}{k}}<\prod_{k \geq 2} \left(1+\frac{1}{k^2}-\frac{k-1}{2k^4}+\frac{2k^2-3k+1}{6k^6} \right)=$$
$$=\prod_{k \geq 2} \left(1+\frac{1}{k^2}-\frac{1}{2k^3}+\frac{5}{6k^4}-\frac{1}{2k^5}+\frac{1}{6k^6} \right)<$$
$$<\exp \left( \frac{\pi^2}{6}+\frac{\pi^4}{108}+\frac{\pi^6}{5670}-1-\frac{\zeta (3)}{2}-\frac{\zeta (5)}{2} \right)=1.81654$$
El valor numérico de la infinita producto es de aproximadamente:
$$\prod_{k \geq 2}\sqrt[k]{1+\frac{1}{k}}=1.758743628$$
El ISC no encontró cerrada a partir de este número.
¿Hay alguna forma de evaluar este producto o encontrar el mejor de los límites en la forma cerrada?
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Clemente C sugirió tomar logaritmo y fue una sugerencia muy útil, ya que tengo la serie:
$$\ln \prod_{k \geq 2}\sqrt[k]{1+\frac{1}{k}}= \frac{1}{2} \ln \left(1+\frac{1}{2} \right)+\frac{1}{3} \ln \left(1+\frac{1}{3} \right)+\dots$$
No sé cómo encontrar la forma cerrada, pero ciertamente puedo usar para encontrar los límites (desde la serie de logaritmo son muy simples).
$$\frac{1}{2} \ln \left(1+\frac{1}{2} \right)+\frac{1}{3} \ln \left(1+\frac{1}{3} \right)+\dots>\sum^{\infty}_{k=2} \frac{1}{k^2}-\frac{1}{2}\sum^{\infty}_{k=2} \frac{1}{k^3}$$
$$\prod_{k \geq 2}\sqrt[k]{1+\frac{1}{k}}>\exp \left( \frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}-\frac{\zeta (3)}{2} \right)=1.72272$$
$$\prod_{k \geq 2}\sqrt[k]{1+\frac{1}{k}}<\exp \left( \frac{\pi^2}{6}+\frac{\pi^4}{270}-\frac{5}{6}-\frac{\zeta (3)}{2} \right)=1.77065$$
$$\prod_{k \geq 2}\sqrt[k]{1+\frac{1}{k}}>\exp \left( \frac{\pi^2}{6}+\frac{\pi^4}{270}-\frac{7}{12}-\frac{\zeta (3)}{2} -\frac{\zeta (5)}{4}\right)=1.75438$$
$$\prod_{k \geq 2}\sqrt[k]{1+\frac{1}{k}}<\exp \left( \frac{\pi^2}{6}+\frac{\pi^4}{270}+\frac{\pi^6}{4725}-\frac{47}{60}-\frac{\zeta (3)}{2} -\frac{\zeta (5)}{4}\right)=1.76048$$
$$\prod_{k \geq 2}\sqrt[k]{1+\frac{1}{k}}>\exp \left( \frac{\pi^2}{6}+\frac{\pi^4}{270}+\frac{\pi^6}{4725}-\frac{37}{60}-\frac{\zeta (3)}{2} -\frac{\zeta (5)}{4} -\frac{\zeta (7)}{6}\right)=1.75803$$
Este método genera mucho mejor los límites de mi primera idea. Los dos últimos son muy buenas aproximaciones.
Edit 2
En realidad, sería correcto escribir (le da el valor correcto del producto):
$$\prod_{k \geq 2}\sqrt[k]{1+\frac{1}{k}}=\frac{1}{2} \exp \left( \sum_{k \geq 2} \frac{(-1)^k \zeta(k)}{k-1} \right)$$
