Extensión de un campo vectorial $X:A\subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 $

Question

Definir $A=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2;\ x\leq 0\ \text{or } y \leq x^2 \}$ ( una representación de $A$ se puede encontrar aquí .)

Dejemos que $X:A\to \mathbb{R}^2$ sea una función suave tal que $X(\partial A) = (1,0)$ y $\tau:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ un difeomorfismo que satisface $\tau'>0$ y $\tau(0) = 0$ .

Mi pregunta: ¿Es posible ampliar $X$ a una función $\tilde{X}:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ , tal que la órbita de $\tilde{X}$ empezando por el punto $(0,y)$ (con $y>0$ ) también pasa por el punto $(\tau(y),\tau(y)^2)$ .

Sólo para que conste, estoy buscando un campo vectorial planar suave $\tilde{X}$ , de tal manera que $\left. \tilde{X}\right|_{A} = X$ y $\forall$ $y>0$ la solución $\varphi_y$ de la ODE \begin{align*}\dot{x} &= \tilde {X}(x) \\ x(0) &= (0,y).\\ \end{align*} satisfacen la condición, $\exists$ $t_y \in \mathbb{R}$ tal que $\varphi_y(t_y) = \left(\tau(y),\tau(y)^2 \right)$ .

---

Si el resultado es verdadero sólo en la vecindad del origen es suficiente para mí. No tengo ninguna idea de cómo abordar este problema. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Sí, es posible. Pero mi "prueba" es sólo un dibujo: se dibuja una curva suave $\gamma_1$ de $(0,1)$ a $(\tau(1),\tau(1)^2$ tal que $\gamma_1(0,1)=\gamma_1(\tau(1),\tau(1)^2)=(1,0)$ y se toma una deformación de ésta para obtener una trayectoria $\gamma_y$ de $(0,y)$ a $(\tau(y),\tau(y)^2)$ como usted quiere que sea. Finalmente construye $\tilde{X}$ de la $\gamma_y$ 's.