Si por $f(x)=x^{-n}$

Question

Si $f(x)=x^{-n}$ para $n\in \mathbb{N}$ , a continuación, probar

$f^{(k)}(x)=(-1)^{k} \frac{(n+k-1)!}{(k-1)!}$ $x^{-n-k} $

Por supuesto que me estoy tomando por inducción, pero el principal problema viene cuando $k+1$ y mi resultado final viene a este

Yo derivan $f^{(k)}(x)=(-1)^{k} \frac{(n+k-1)!}{(k-1)!}$ $x^{-n-k} $ por lo tanto

$f^{(k+1)}(x)=(-1)^{k} \frac{(n+k-1)!}{(k-1)!}$ $x^{-n-k-1}(-n-k) =$

$f^{(k+1)}(x)=(-1)^{k+1} \frac{(n+k)!}{(k-1)!}$ $x^{-n-k-1}$

pero mi intuición me dice que tengo que llegar a

$f^{(k+1)}(x)=(-1)^{k+1} \frac{(n+k)!}{k!}$ $x^{-n-k-1}$

Algún consejo?

Answer 1

Si no me equivoco, el derivado tiene un error tipográfico en el denominador. Debe ser $(n-1)!$ en lugar de $(k-1)!$ : $$ f ^ {(k)} (x) = (- 1) ^ k \ frac {(n + k − 1)!} {(N −1)!} X ^ {- (n − k)}. $$

Usando esta expresión, la prueba por inducción debería funcionar.