Multiplicadores de Lagrange para la derivación de la distribución de Maxwell-Boltzmann

Question

Al derivar la MB-Distribución, mientras que tomando el número de estados cuánticos $g_j$ en cuenta, la ecuación final que me gustaría tener a resolver sería: $$\ln(g_j)-\ln(n_j)+\alpha+\beta\cdot E_j=0$$ Donde $n_j$ es el número de partículas en el nivel de energía de $E_j$. El $\alpha$ e $\beta$ son aplicadas de Multiplicadores de Lagrange restricciones. Tengo entendido que la adición o sustracción de los Multiplicadores de Lagrange debe no importa para el resultado final. Ahora, cuando puedo continuar con esta ecuación, me gustaría, finalmente, obtener: $$n_j=e^\alpha\cdot e^{\beta\cdot E_j} \cdot g_j$$ Cuando quiero derivan de la distribución de probabilidad de la fórmula de Maxwell-Boltzmann, tendría que considerar la energía a ser continua. Sustituyendo $g_j$ con la densidad de la energía de la fórmula veces $\mathrm dE$, el número total de partículas $N$ sería: $$\int_0^\infty\frac{V\cdot 2^{2.5}\pi\cdot m^{1.5}}{h^3}\cdot \sqrt E\cdot e^{\alpha}\cdot e^{\beta\cdot E}\cdot \mathrm dE=N$$ Sin embargo, el resultado de esta integración, hasta el infinito daría simplemente el resultado de $0$. Pero al restar los Multiplicadores de Lagrange en la ecuación inicial, las constantes habría signos negativos y la integración daría la fórmula correcta para $N$.

Pero esto significa que no importa si usted sumar o restar el Lagrange Constantes. ¿Qué estoy haciendo mal aquí?

Answer 1

Ignorando multiplicativo constantes, la integral es (en forma general)

$$\int \sqrt{x} e^{ax} \mathrm{d} x = \frac{1}{a}\sqrt{x}e^{ax}+\frac{i\sqrt{\pi}}{2a^{3/2}} \mathrm{erf}(i\sqrt{ax})$$

donde $$\mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2}\mathrm{d}t$$

Establecimiento $x=E$, $a=\beta$, y la integración a los límites de $0$ e $\infty$, da

$$\int_0^\infty \sqrt{E} e^{\beta E} \mathrm{d} E = \frac{1}{\beta}\sqrt{E}e^{\beta E}\Bigg|_{0}^\infty + \frac{i\sqrt{\pi}}{2\beta^{3/2}} \mathrm{erf}(i\sqrt{\beta E})\Bigg|_{0}^\infty = \frac{1}{\beta}\sqrt{E}e^{\beta E}\Bigg|^\infty +\frac{i\sqrt{\pi}}{2\beta^{3/2}} \mathrm{erf}(i\sqrt{\beta E})\Bigg|^\infty$$

desde $\mathrm{erf}(0)=0$. Para progresar, hay que considerar que la función de $\mathrm{erf}(x)$ debe tener un real de entrada de $x$ (de lo contrario va a "volar" a $\infty$), lo que implica que $\beta$ debe ser negativa, o, explícitamente, que los $\beta = -|\beta|$ (también se podría argumentar que el segundo término en la r.h.s debe ser real y llegado a la misma conclusión). Con la negativa $\beta$ tenemos que

$$\mathrm{erf}(i\sqrt{\beta E})=\mathrm{erf}(i\sqrt{-|\beta|E})=\mathrm{erf}(-\sqrt{|\beta|E})=-\mathrm{erf}(\sqrt{|\beta|E})$$

Con esta condición también vemos que el primer término en la r.h.s. es cero, y como resultado de que

$$\int_0^\infty \sqrt{E} e^{-|\beta| E} \mathrm{d} E = \frac{\sqrt{\pi}}{2|\beta|^{3/2}}$$

Answer 2

Usted puede elegir los signos, ya sea de forma redonda, el resultado final será el mismo ya que la misma física se tratara. Usted tiene presumiblemente iniciado por encontrar el número de distinguir los estados estacionarios, tales como $\Omega=\sum_n N!/\prod_in_i$ sujeto a $\sum_i n_i=N; \; \sum_,n_i\epsilon_i=E$. Resulta que el plazo máximo es mayor que todos los demás juntos, es decir, la condición de equilibrio es abrumadoramente probable, y por lo $\Omega_m= N!/\prod_in_i$ y a partir de este nuestro objetivo es encontrar el valor máximo que conduce a $\displaystyle \frac{\partial \Omega_m}{\partial n_i}+\alpha+\beta\epsilon_i=0$ donde $\alpha,\,\beta$ son los indeterminado multiplicadores pero no son indeterminados. El $\alpha$ está relacionado con la función de partición y $\beta$ , de manera simple, a la temperatura de modo que tienen un significado físico, por lo que sus valores son fijos, debido a que, por lo tanto no importa si la ecuación se $\displaystyle \frac{\partial \Omega_m}{\partial n_i}-\alpha-\beta\epsilon_i=0$

Matemáticamente es más fácil utilizar el log de esta manera, empezar con $\displaystyle \frac{\partial \ln(\Omega_m)}{\partial n_i}-\alpha-\beta\epsilon_i=0$ y después de varios pasos, y como cada una de las $n_i$ es independiente, a continuación, $\ln(n_i)+\alpha+\beta=0$. Esto le da a $n_i=e^\alpha e^{-\beta e_i}$ cual es la de Maxwell Boltzmann distribución y $n_i=g_ie^\alpha e^{-\beta e_i}$ si la degeneración está incluido.

Para ir más allá de los multiplicadores tienen que ser encontrado. Como $\sum_in_i=N$ entonces $N=e^{-\alpha}\sum_n g_ie^{-\beta\epsilon_i}$ y la función de partición es $Z=\sum_n g_ie^{-\beta\epsilon_i}$.

Es más difícil calcular el $\beta$ y la entropía es necesario hacerlo. Pero sabemos que $\beta$ debe ser un número positivo (como se definió anteriormente en $\partial \ln(\Omega_m)/\partial n_i-\alpha-\beta\epsilon_i=0$) de lo contrario la función de partición sería divergen hacia el infinito (y si es cero la función de partición sería una infinita suma). Lo mismo es cierto para su integral.

$\beta$ debe estar relacionada con la temperatura ya que si hay dos sistemas aislados que luego fueron puestos en contacto y así intercambiar energía y llegar a este equilibrio, a continuación, sólo es posible con el mismo valor de $\beta$. Finalmente, un aumento en el $\beta$ se asocia con una disminución de la temperatura. La relación de dos distribuciones es $\displaystyle \frac{n_k}{n_i}=\frac{g_k}{g_i}e^{-\beta(\epsilon_k-\epsilon_i)}$. Si $\epsilon_k>\epsilon_i$ cuando $\beta$ disminuye la ración $n_k/n_i$ debe aumentar. Por lo tanto la energía total del sistema debe aumentar a medida que la población se desplaza desde los niveles inferiores a$i$ a los de $k$. Termodinámicamente tal cambio se asocia con un aumento de la temperatura.

Como la entropía se define como $S=k\ln(\Omega_m)$ e impartido por la termodinámica clásica como $\displaystyle \left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_{V,N}=\frac{1}{T}$ nos encontramos con que $\displaystyle \left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_{V,N}=\frac{1}{T}=k\beta$, donde $k$ es un (Boltzman) constante.

Tuvo que utilizar signos positivos en la puesta en marcha de la ecuación de $\partial \ln(\Omega_m)/\partial n_i$ entonces tendríamos que cambiar el signo en la frente de cada uno de los $\beta$ y terminan con la misma definición de la función de partición $Z$.