Una consecuencia del lema de Schanuel.

Question

En Carlson del Cohomology y teoría de la representación, el autor de los estados Schanuel del lexema y, a continuación, se deriva una consecuencia que no puedo entender.

Se define, por un $kG$ módulo de $M$, $\Omega (M)$ a ser el núcleo de una surjective mapa de $P\to M$ donde $P$ es proyectivo de dimensión mínima (aquí estoy asumiendo dimensión significa "la dimensión en el $k$" ); y luego dicen que si $\gamma : Q\to M$ es otro surjective mapa de un proyectiva, entonces $\ker \gamma = \Omega( M) \oplus (\mathrm{proj})$, y decir que se desprende de Schanuel del lexema.

Pero no veo la manera de que se sigue de Schanuel del lexema. La exacta de la declaración es que $\ker \gamma \oplus P \cong \Omega(M)\oplus Q$, pero no veo por qué el isomorfismo debe tomar $\ker\gamma$ a $\Omega(M)\oplus$algunos proyectiva submódulo de $Q$ (en realidad el isomorfismo que he encontrado cuando me escribió una prueba de que el lema no envía a $\Omega(M)$ a $\ker \gamma$ )

Answer 1

El ingrediente que falta es la Krull-Schmidt teoremaque dice que si se descompone una longitud finita módulo a través de un anillo como una suma directa de indecomposable módulos, los sumandos son únicos hasta el isomorfismo (y reordenamiento). En particular, vamos a descomponer cada término de $$\ker \gamma \oplus P \cong \Omega(M)\oplus Q$$ into indecomposable summands. Since $\Omega(M)$ has no projective summands and $P$ has only projective summands, we see that all the non-projective indecomposable summands of $\ker \gamma$ and $P$ must correspond to summands of $\Omega(M)$ and all the projective indecomposable summands of $\ker \gamma$ and $P$ must correspond to summands of $P$. But since $P$ is projective, all the non-projective summands must come from $\ker\gamma$. This means that the decomposition of $\ker\gamma$ consists of all the summands of $\Omega(M)$ plus possibly some of the summands of $P$. That is, $\ker\gamma\cong \Omega(M)\oplus Q'$ for some projective module $P'$.