Cómo resolver $(x!)!+x!+x=x^{x!} $

Question

Cómo resolver esta ecuación

$$ (x!)!+x!+x=x^{x!} $$

La respuesta es $3$ . Pero no tengo ni idea de como solucionarlo. Gracias por su tiempo.

Answer 1

Voy a mostrar $(x!)!>x^{x!}$ para $x>3$ lo que demuestra claramente que no existen soluciones con $x>3$ .

$(x!)!$ es un producto de $x!$ factores, entre los que se encuentran $1,2,\dots,x$ y $x^2+1,\dots,x^2+x$ (ya que $x!\geq x^2+x$ para $x\geq 4$ ), así como $x!-2x$ otros factores, cada uno de los cuales es al menos $x$ . Por lo tanto $$(x!)!\geq 1(x^2+1)\cdot 2(x^2+2)\cdot\dots\cdot x(x^2+x)\cdot x^{x!-2x}>(x^2)^x\cdot x^{x!-2x}=x^{x!}$$ como queríamos.