¿Cómo leer la Topología Algebraica de Hatcher?

Question

Tengo que leer el libro de texto de Allen Hatcher y lo estoy pasando muy mal con el libro. Por citar ejemplos, el capítulo 0 me parece ilegible, especialmente las partes sobre los complejos CW (me parece que las pruebas del capítulo 0 son, en el mejor de los casos, incompletas, pero puedo estar muy equivocado) y también el ejemplo 0.7, donde dice que las tres gráficas son homotópicas equivalentes porque son repliegues de deformación de un disco con dos agujeros. Del mismo modo, cuando intenté leer la demostración del teorema de Van Kampen, sentí que la demostración no era tan clara con palabras como "perturbar los lados verticales" haciendo un cameo. En otras palabras, me parece que el tratamiento no es riguroso.

¿Estoy leyendo mal el libro? Para aclarar, esto no es un despotrique contra el libro porque sí: Realmente quiero intentar leer este libro. Sé que el texto de Hatcher es seguido en todo el mundo, así que estoy tratando de entender cómo leer realmente el libro. ¿Debería dedicar mucho más tiempo a intentar rellenar los huecos o se supone que debo pasar por encima de los detalles? Gracias de antemano por sus sugerencias.

Answer 1

¿Qué nivel de formación tiene en topología? Por ejemplo, ¿ha dominado el libro de Munkres?

El punto de vista del libro de Hatcher requiere que usted ya domine varios temas importantes de la topología, incluyendo estos dos temas clave:

• Mapas cocientes y topologías cocientes, que son la clave de los complejos CW;
• Las homotopías, que son la clave de las retracciones de deformación y las equivalencias de homotopía.

Sólo como ejemplo, yo esperaría que alguien que domine el libro de Munkres sea capaz de escribir una fórmula explícita para un subconjunto de $\mathbb R^2$ que es homeomorfo a uno de los gráficos en esa discusión de Hatcher, escribir una fórmula explícita para una retracción de deformación específica de un disco con dos agujeros a ese gráfico, y escribir las fórmulas específicas para las homotopías necesarias para demostrar que ese mapa es una retracción de deformación. Puedes pensar en esa discusión de Hatcher como un "examen de prerrequisitos" que evalúa si has aprendido lo que necesitas aprender sobre las homotopías.

Por lo tanto, si te ves incapaz de escribir esos mapas y esas homotopías, o si tienes cualquier otra deficiencia en esos dos temas, o en cualquier otro tema básico de topología, deberías reforzar esos temas con otro libro como el de Munkres mientras avanzas en el libro de Hatcher.

Answer 2

Como otros han sugerido, una solución podría ser probar otro libro. Hay muchas posibilidades, pero una buena para los principiantes es el libro de Lee Introducción a las Múltiples Topológicas . Aunque trata de los manifiestos, dedica mucho tiempo a introducir temas clave de la topología general y algebraica. Si su formación en topología general es lo suficientemente sólida, puede ir directamente al capítulo 5 sobre complejos celulares (en la segunda edición, el enfoque es sobre complejos CW) y trabajar a partir de ahí. El capítulo 10 trata del teorema de Seifert-Van Kampen. Lee es muy cuidadoso y minucioso en su presentación, lo que podría ayudarte con las lagunas que has encontrado.