¿Por qué mi explicación es errónea?

Question

Una clase de $30$ estudiantes, J. siendo uno de ellos, ha $5$ clases hoy.

• ¿Cuál es la probabilidad de que J. sea el estudiante elegido para explicar los deberes en al menos dos clases?

• ¿Cuál es la probabilidad de que alguien sea elegido al menos dos veces?

Mi solución es la siguiente:

La probabilidad de que J. sea elegido al menos dos veces es

$$\left( \frac{1}{30} \right)^2 \cdot \left( \frac{29}{30} \right)^3 + \left(\frac{1}{30} \right)^3 \cdot \left( \frac{29}{30} \right)^2 + \left( \frac{1}{30} \right)^4 \cdot \left( \frac{29}{30} \right) + \left( \frac{1}{30} \right)^5 \approx 0.104\%$$

La respuesta a la segunda pregunta es simplemente la probabilidad de J. multiplicada por el número de estudiantes, aproximadamente $3.12\%$

Tuvimos un debate con un compañero sobre esta explicación, pero no pudimos convencernos mutuamente. ¿Es correcta mi explicación o, si no lo es, en qué me he equivocado?

Answer 1

En cuanto a la primera pregunta:

Este es el tipo de situación en la que se daría una distribución binomial: si hay $p$ probabilidad de que ocurra uno de los siguientes sucesos $r$ veces en una secuencia, hay que tener en cuenta el número de secuencias en las que también se produce ese suceso.

Por ejemplo, digamos que tiro una moneda al aire $5$ veces: cuántas veces aparece cabezas $2$ ¿tiempos? Bueno, primero, ¿cuántas secuencias de $5$ volteretas tienen $2$ ¿Aparecen cabezas? Así es. $\binom 5 2$ . A partir de ahí, la probabilidad de $2$ éxitos es la probabilidad $p$ de voltear cabezas, al poder de $2$ veces la probabilidad $1-p$ de voltear la cruz, al poder de $5-2=3$ .

Más concretamente, la probabilidad viene dada por

$$P(\text{2 heads in 5 flips}) = \binom 5 2 p^2(1-p)^3$$

Tenga en cuenta que no he dicho explícitamente $p=1/2$ por una razón, que tal vez no estoy lanzando una moneda justa. Mi motivación para hacer esto es porque no quiero que se te crucen algunos cables en la cabeza con la forma en que se realiza el cálculo, por lo que quiero reiterar - mi moneda no es necesariamente justa en este escenario.

Vale, digamos que quiero como máximo $2$ cabezas. Podemos simplemente generalizar lo anterior: encontrar la probabilidad de $0,1,$ y $2$ cabezas; es decir

$$\begin{align} P(\text{at most 2 heads}) &= P(\text{0 heads}) + P(\text{1 heads}) + P(\text{2 heads})\\ &= \binom 5 0 p^0(1-p)^5 + \binom 5 1 p^1(1-p)^4 + \binom 5 2 p^2(1-p)^3\\ &= \sum_{k=0}^2 \binom 5 k p^k(1-p)^{5-k} \end{align}$$

En general: supongamos que tenemos una secuencia de $n$ ensayos, todos independientes entre sí. Definimos el resultado de cada uno de ellos como un éxito o un fracaso, con probabilidades $p$ y $1-p$ respectivamente. Entonces la distribución binomial dice que la probabilidad de $r$ éxitos (donde $r$ es un número entero comprendido entre $0$ a $n$ ) viene dada por

$$P(r \; \text{successes}) = \binom n r p^r (1-p)^{n-r}$$

Si queremos "como máximo" un cierto número de aciertos, como mínimo, o lo que sea, simplemente sumamos lo anterior repetidamente, utilizando lo que sea $r$ son los más aplicables.

En tu escenario, OP, $n=5, p=1/30.$ En la primera pregunta, queremos $r\geq 2$ (así que suma sobre $r=2,3,4,5$ ).

Si quieres profundizar en este tema, Khan Academy es probablemente un buen recurso para empezar. Aquí tiene un enlace.

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En mi opinión, la segunda cuestión es más benigna que el problema anterior de la distribución binomial. Consideremos el planteamiento complementario: ¿cuál es la probabilidad de que no ¿repetición? Los hay $30(29)(28)(27)(26)$ formas de elegir a los alumnos para evitar repeticiones; divídalo por el número total de posibles selecciones de alumnos, $30^5$ y eso te da la probabilidad de no tener un alumno repetidor. Por tanto, la probabilidad de que repita es $1$ menos eso.

Answer 2

Tu primer cálculo es incorrecto, porque no has considerado que hay múltiples maneras de que J. pueda ser elegida dos veces, por ejemplo. $\left({1\over30}\right)^2\left({29\over30}\right)^2$ es la probabilidad de que J. sea convocado tanto en historia como en inglés, digamos, pero hay ${5\choose2}$ formas de elegir las dos clases en las que se le convoca. Del mismo modo, para tres o cuatro clases.

En cuanto a la segunda pregunta, tiene problemas de doble contabilidad. Cuando sumas las probabilidades para obtener J. es llamado dos veces, o Susan es llamada dos veces, o ..., tienes que preocuparte por la posibilidad de que cada uno sea llamado dos veces. Lo has contado dos veces. La mejor manera de hacer la segunda parte es como $1$ menos la probabilidad de que $5$ se convoca a diferentes alumnos: $$1-5!{30\choose5}\left({1\over30}\right)^5$$

Answer 3

Yo enfocaría ambas preguntas al revés. La probabilidad de que no se llame a J es $(29/30)^5$ y la probabilidad de que J sea llamado exactamente una vez es $5(1/30)(29/30)^4$ . Por tanto, la probabilidad de que J se llame $0$ o $1$ tiempo es de aproximadamente $0.9896$ lo que hace que la probabilidad de que J sea llamado al menos dos veces sea aproximadamente $0.0104$ .

En cuanto a la segunda pregunta, hay $30^5$ formas de seleccionar a un estudiante de cada $5$ clases y hay $30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26$ formas de elegir a cinco estudiantes sin repetir ninguno. Entonces la probabilidad de que nadie sea llamado dos veces es $0.7037$ y la probabilidad de que al menos un alumno sea llamado dos veces es $0.2963$ .

Answer 4

Tu primera parte no es del todo correcta, ya que no has tenido en cuenta el hecho de que $J$ puede presentar soluciones en diferentes pares (o triples, o cuádruples) de clases. Así, la probabilidad de que $J$ se selecciona dos veces debe ser $$ \binom{5}{2}\frac{29*28*27}{30^5}+\binom{5}{3}\frac{29*28}{30^5}+\binom{5}{4}\frac{29}{30^5}+\binom{5}{5}\frac{1}{30^5}\approx.00936 $$

Existen $30\cdot 29\cdot28\cdot27\cdot26$ formas de elegir a los alumnos para compartir sin repeticiones, de un total de $30^5$ formas totales de elegir estudiantes sin restricciones. Por tanto, la probabilidad de tener una restricción es $$ 1-\frac{30\cdot 29\cdot28\cdot27\cdot26}{30^5}\approx .296 $$

Edición: Tenga en cuenta que $.296$ NO es simplemente $.00936*30\approx.281$ como usted sospechaba; esto se debe a que es posible (aunque poco probable) que dos parejas de estudiantes presentan dos veces

Answer 5

¿Es correcta mi explicación o, si no lo es, en qué me he equivocado?

No, tu explicación es errónea. Tenemos la regla de que si usted tiene $n$ posibilidades, cada una con probabilidad $p$ entonces la probabilidad de que ocurra una de las posibilidades es $np$ . Pero esta regla sólo se aplica si las posibilidades son mutuamente excluyentes (es decir, es imposible que ocurra más de una a la vez). En este caso, es posible que más de un alumno se presente en dos clases, (las posibilidades no son mutuamente excluyentes) por lo que no sabemos si multiplicando la probabilidad de que un alumno concreto se presente en dos clases por el número de alumnos obtendremos la respuesta correcta. Después de todo, si la probabilidad de un alumno fuera del 4%, la probabilidad de todos los alumnos no sería del 120%.

Por otra parte, esta presentación del problema requiere que el lector haga varias suposiciones, como que hay exactamente un alumno elegido en cada clase, y sería mejor que se indicaran explícitamente.