$x^2+xy+y^2$ $x^2-xy+y^2$ no son cuadrados perfectos

Question

Demostrar que $x^2+xy+y^2$ $x^2-xy+y^2$ no puede ser cuadrados perfectos.

Seguramente $x$ $y$ son números naturales. Si $x^2+xy+y^2 =a^2$ $x^2-xy+y^2=b^2$ simultáneamente, a continuación, tenemos que demostrar que no existen tales enteros $a$$b$.

He tratado de que:

Supongamos $x^2+xy+y^2=a^2$$x^2-xy+y^2=b^2$. A continuación,$2xy=a^2-b^2=(a+b)(a-b)$, por lo que uno de $x$ $y$ es aún, pero luego me he atascado.

Answer 1

La adición de estas ecuaciones da $2(x^2+y^2) = a^2 + b^2$; único factoriation de los enteros de Gauss muestra que lo que esencialmente debe tener $a = x+y$$b = x-y$. Ahora combine esto con lo que ya tiene.

Answer 2

La pregunta equivale a mostrar que la curva elíptica $Y^2 = X^2+X+1$, $Z^2 = X^2-X+1$ no tiene puntos racionales distintos de los con $X=0$$X=\infty$. Que se puede hacer por medios elementales, pero que requiere una Fermat-el estilo de descenso. Según Dickson de la Historia de la Teoría de los Números (Volumen II, Capítulo XVI, parte inferior de la página 481, en referencia a la nota 119 p.480), el resultado fue demostrado en 1876 por Genocchi. [En lenguaje moderno, una de Weierstrass forma de esta curva es $$y^2 = x^3+x^2-24x+36 = (x-2)(x-3)(x+6),$$ con el director de orquesta $48$ y por lo tanto en el "Amberes Tablas" (ver curva de 48C), donde encontramos que se ha Mordell-Weil grupo $({\bf Z}/2{\bf Z}) \oplus ({\bf Z}/4{\bf Z})$.]

Answer 3

Esto aún no es una respuesta completa, pero tengo que estar preparado para trabajar ahora y no estoy seguro de cómo proceder, de todos modos.

Claramente esta declaración no si $x$ o $y$$0$, y los números negativos son fácilmente volteado, así que asumir que $x$ $y$ son enteros positivos.

Si $x$ $y$ son ambos inclusive, para luego dividir cada uno por $2$ producirá otra solución. Por lo tanto, si hay alguna solución, debe ser uno de los que $x$ o $y$ es impar, así que vamos a suponer, sin pérdida de generalidad, que el $y$ es impar.

Desde $2xy=(a+b)(a-b)$, $a+b$ o $a-b$ debe ser par. Pero $a+b = (a-b)+2b$, lo que en realidad $a+b$ $a-b$ son ambos inclusive.

Por lo tanto $4\mid (a+b)(a-b)=2xy$, lo $x$ o $y$ es incluso. Desde $y$ se supone que ser impar, $x$ debe ser par.

Por lo tanto $a$ $b$ son ambos impares.