Prueba de que $a\nabla^2 u = bu$ es la única EDP de segundo orden homogénea que no cambia/invariante por la rotación

Question

Buscando comentarios y tal vez una intuición más simple para mi demostración del teorema, que se muestra a continuación

El enunciado del teorema:

Teorema

Entre todas las EDP homogéneas de segundo orden en dos dimensiones con coeficientes constantes, demuestre que las únicas que no cambian bajo una rotación de la coordenada (es decir, son invariantes de la rotación), tienen la forma $$a\nabla^2u = bu $$

Prueba:

La EDP general de esas condiciones se escribe como $$a_1u_{xx} + 2a_2u_{xy} + a_3 u_{yy} + b_1u_x +b_2u_y +cu = 0$$ Rotación de un punto en sentido contrario a las agujas del reloj $x,y$ puede ser dada por la matriz de rotación está dada por la figura siguiente,

donde con algo de geometría básica, podemos derivar

$$x' = \|{\mathbf{v}}\|\cos\left(\theta + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\right) = x\cos\theta - y\sin\theta$$ $$y' = \|{\mathbf{v}}\|\sin\left(\theta + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\right) = x\sin\theta + y\cos\theta$$ Esto se puede resumir en una transformación matricial $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$$

dando el mapa: \begin{align*} x\mapsto x'=x\cos\theta - y\sin\theta \\ y\mapsto y'=x\sin\theta+y\cos\theta \end{align*}

A partir de aquí encontramos las derivadas de nuestras nuevas coordenadas: $$ \frac{\partial x'}{\partial x} = \cos\theta \quad \frac{\partial y'}{\partial x}=\sin\theta$$ $$\frac{\partial x'}{\partial y} = -\sin\theta \quad \frac{\partial y'}{\partial y} = \cos\theta$$

Ahora las primeras derivadas de $u(x',y')$ con respecto a $x,y$ :

\begin{align*} u_x = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x'} \frac{\partial x'}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y'} \frac{\partial y'}{\partial x} = u_{x'}\cos\theta + u_{y'} \sin\theta \\ u_y = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x'} \frac{\partial x'}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial y'} \frac{\partial y'}{\partial y} = -u_{x'}\sin\theta + u_{y'} \cos\theta \end{align*}

Y luego las segundas derivadas:

\begin{align*} &u_{xx} = u_{x'x'} \cos^2\theta +2u_{x'y'}\sin\theta\cos\theta+ u_{y'y'} \sin^2\theta \\ &u_{xy} = -u_{x'x'} \cos\theta\sin\theta - u_{y'x'} \sin^2\theta + u_{x'y'} \cos^2\theta + u_{y'y'}\sin\theta\cos\theta \\ &u_{yy}= u_{x'x'} \sin^2\theta -2u_{x'y'}\sin\theta\cos\theta+ u_{y'y'} \cos^2\theta \end{align*} Sustituyendo en la EDP general y reordenando los factores de las derivadas parciales, se puede escribir como $$ \color{blue}{\widetilde{a_1}u_{x'x'} + \widetilde{a_2}u_{x'y'} + \widetilde{a_3} u_{y'y'} + \widetilde{b_1}u_{x'} +\widetilde{b_2}u_{y'} +\widetilde{c}u = 0} $$

donde: \begin{align*} &\widetilde{a_1} = a_1 \cos^2\theta -2a_2\cos\theta\sin\theta + a_3\sin^2\theta \\ &\widetilde{a_2} = (a_1-a_3)\sin 2\theta + 2a_2 \cos 2\theta \\ &\widetilde{a_3} = a_1 \sin^2\theta + 2a_2\sin\theta\cos\theta +a_3\cos^2\theta \\ &\widetilde{b_1} = b_1\cos\theta - b_2\sin\theta \\ &\widetilde{b_2} = b_1\sin\theta + b_2\cos\theta \\ &\widetilde{c} = c \end{align*}

Dado que requerimos invariancia rotacional, la ecuación original y la EDP transformada deben tener el mismo valor, es decir $0$ En todos los casos de $u$ . Esto se puede escribir como

$$\small{a_1u_{xx} + 2a_2u_{xy} + a_3 u_{yy} + b_1u_x +b_2u_y +cu = \widetilde{a_1}u_{x'x'} + \widetilde{a_2}u_{x'y'} + \widetilde{a_3} u_{y'y'} + \widetilde{b_1}u_{x'} +\widetilde{b_2}u_{y'} +\widetilde{c}u} $$

de donde: \begin{align} \tag{1} a_1& = a_1 \cos^2\theta -2a_2\cos\theta\sin\theta + a_3\sin^2\theta&\\ \tag{2} 2a_2& = (a_1-a_3)\sin 2\theta + 2a_2 \cos 2\theta& \\ \tag{3} a_3& = a_1 \sin^2\theta + 2a_2\sin\theta\cos\theta +a_3\cos^2\theta& \\ \tag{4} b_1& = b_1\cos\theta - b_2\sin\theta&\\ \tag{5} b_2& = b_1\sin\theta + b_2\cos\theta&\\ \tag{6} c &= c& \end{align}

Excluyendo el caso trivial en el que $\{a_i\},\{b_i\},c = 0$ podemos sacar varias conclusiones. Obsérvese que las deducciones que se hacen a continuación se hacen entendiendo que cualquier ángulo arbitrario $\theta$ debe ser válida, por lo que es erróneo aplicar $\theta =0$ para alcanzar la igualdad.

1. sólo puede ser cierto cuando $a_1=a_3$ y $a_2=0$ ,
2. implica $a_2=0$ y $a_1=a_3$ ,
3. como (1) sólo es cierto cuando $a_1=a_3$ y $a_2=0$ ,
4. es verdadera cuando $b_1=b_2=0$
5. como (4) es verdadera cuando $b_1=b_2=0$ ,
6. implica $c\in \mathbb{R}$ es válido.

Todos juntos sabemos entonces $a1=a3$ , $a_2=b_1=b_3=0$ y $c=c$ . Volviendo a la EDP rotada ahora sabemos: $$\widetilde{a_1} = a_1, \widetilde{a_2} = 0, \widetilde{a_3} = a_1 , \widetilde{b_1} = 0, \widetilde{b_2} = 0, \widetilde{c} = c $$ Así que la PDE bajo una rotación, $u(x',y')$ se convierte en \begin{align*} &a_1u_{x'x'} + a_1u_{y'y'} +cu = 0\\ \Rightarrow& a_1(u_{x'x'}+u_{y'y'}) = -cu \\ \Rightarrow& a\nabla^2{u} = bu \end{align*} donde hemos elegido $a_1=a, -c = b$ para todos $a,b\in\mathbb{R}$ . Esto es en términos de la nueva rotación $u(x',y')$ por lo que queda por demostrar que $\nabla^2{u(x,y)} = \nabla^2{u(x',y')}$ , consideren a partir de las derivadas anteriores: \begin{align*} &u_{xx} = u_{x'x'} \cos^2\theta +2u_{x'y'}\sin\theta\cos\theta+ u_{y'y'} \sin^2\theta \\ &u_{yy}= u_{x'x'} \sin^2\theta -2u_{x'y'}\sin\theta\cos\theta+ u_{y'y'} \cos^2\theta \end{align*} Súmalos $$u_{xx}+u_{yy}= u_{x'x'} (\sin^2\theta+\cos^2\theta) -2u_{x'y'}\sin\theta\cos\theta+ 2u_{x'y'}\sin\theta\cos\theta+ u_{y'y'} (\cos^2\theta+\sin^2\theta)=u_{x'x'}+u_{y'y'}$$ por lo tanto, $\nabla^2{u(x,y)} = \nabla^2{u(x',y')}$ según sea necesario.

Por tanto, una rotación aplicada a cualquier EDP 2D homogénea de segundo orden con coeficientes constantes se transformará en una EDP de la forma $a\nabla^2{u} = bu$ bajo la coordenada rotada $x',y'$ que hemos demostrado que son equivalentes bajo las coordenadas regulares $x,y$ . Esta es la única EDP que es invariante bajo la rotación. $$\tag*{$ \N - Plaza negra $}$$

Observación adicional

También tenía curiosidad por las funciones y operadores rotacionales invariantes. Cualquier cosa que resuelva la ecuación de Laplaces ( $\nabla^2=0$ ) se llama función armónica y satisface propiedades como la del valor medio y el principio de maximización. Al principio supuse que las funciones armónicas significaban que eran radiales, pero creo que se refiere más bien a que son simétricas.

El laplaciano es invariante de la rotación, pero la ecuación de Laplace tiene algunas soluciones que son radiales (invariantes de la rotación) y otras que no lo son. También me he dado cuenta de que lo contrario no es cierto, es decir, una función radial no implica $\nabla^2 = 0$ como $f(x,y)=x^2+y^2$

Véase la observación de la recompensa más abajo

Answer 1

Decimos que un operador lineal $L$ es rotacionalmente invariante si y sólo si $L$ conmuta con el grupo ortogonal, es decir $[L, O] = 0$ por cada $O \in \text{O}(n)$ .

Por lo tanto, lo que está demostrando es que si $L$ es un operador lineal de segundo orden, entonces \begin{align} LO[f](x) = L[f(O x)] = [Lf](O x) = OL[f](x) \end{align} si y sólo si $L = a\Delta-bI$ . Además, esto equivale a mostrar \begin{align} L[f](x, y) = O^{-1}LO[f](x, y) \end{align} para cada función $f$ Es decir, $L$ permanece fija bajo la acción de conjugación de las transformaciones ortogonales.

Ejemplo : Veamos un ejemplo. Consideremos $f(x, y) = x e^y$ y $L=\Delta$ . Observar \begin{align} O[f]=&\ f(\cos\theta x - \sin\theta y, \sin\theta x+\cos\theta y) \\ =&\ (\cos\theta x-\sin\theta y)e^{\sin\theta x+\cos\theta y} \end{align} donde \begin{align} O = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} . \Fin Entonces vemos que \begin{align} g(x, y):=LO[f](x, y)= e^{\sin\theta x+\cos\theta y}(x\cos\theta-y\sin\theta) \end{align} y finalmente \begin{align} O^{-1}[g](x, y) =&\ g(\cos\theta x+\sin\theta y, -\sin\theta x+\cos\theta y)\\ =&\ e^{\sin\theta\cos\theta x+\sin^2\theta y-\sin\theta\cos\theta x+\cos^2\theta y}(\cos^2\theta x+\sin\theta \cos\theta y+\sin^2\theta x-\sin\theta\cos\theta y)\\ =&\ xe^y. \end{align} Por lo tanto, \begin{align} O^{-1}LO [f](x, y) = xe^y. \end{align} Además, tenga en cuenta que $\Delta f =x e^y$ . Así, $L[f](x, y) = O^{-1}LO[f](x, y)$ .

Función radial : De hecho, la única solución armónica radial definida en todo el $xy$ -son constantes. Esto es una simple consecuencia de la identidad del valor medio y del principio de máximo para la función armónica. Por tanto, $L$ ser invariante en la rotación no significa \begin{align} f(Ox) = f(x) \text{ for all } O \in \text{O}(2)\ \ \implies \ \ \Delta f =0. \end{align}

Último comentario: Desgraciadamente, no creo que haya formas más sencillas de demostrar que los únicos operadores diferenciales de segundo orden rotacionalmente invariantes están dados por $L=a\Delta-bI$ que no sea el cómputo directo.

Answer 2

Quizás escribiendo las variables reales $x$ y $y$ como variables complejas $z$ y $\bar{z}$ podría proporcionar alguna información como se esperaba.

Definir \begin{align} z&=x+iy,\\ \bar{z}&=x-iy, \end{align} que da como resultado \begin{align} \frac{\partial}{\partial x}&=\frac{\partial}{\partial z}+\frac{\partial}{\partial\bar{z}},\\ \frac{\partial}{\partial y}&=i\left(\frac{\partial}{\partial z}-\frac{\partial}{\partial\bar{z}}\right). \end{align}

Gracias a estas relaciones, tenemos \begin{align} u_x&=u_z+u_{\bar{z}},\\ u_y&=i\left(u_z-u_{\bar{z}}\right),\\ u_{xx}&=u_{zz}+2u_{z\bar{z}}+u_{\bar{z}\bar{z}},\\ u_{xy}&=i\left(u_{zz}-u_{\bar{z}\bar{z}}\right),\\ u_{yy}&=-\left(u_{zz}-2u_{z\bar{z}}+u_{\bar{z}\bar{z}}\right). \end{align} En consecuencia, $$ a_1u_{xx}+2a_2u_{xy}+a_3u_{yy}+b_1u_x+b_2u_y+cu=0 $$ equivale a \begin{equation} \left(a_1+2ia_2-a_3\right)u_{zz}+2\left(a_1+a_3\right)u_{z\bar{z}}+\left(a_1-2ia_2-a_3\right)u_{\bar{z}\bar{z}}+\left(b_1+ib_2\right)u_z+\left(b_1-ib_2\right)u_{\bar{z}}+cu=0.\tag{1} \end{equation}

Ahora, para la transformación rotacional, tenemos $$ z\to e^{i\theta}z $$ para algunos $\theta\in\left[0,2\pi\right)$ . Bajo esta transformación, es evidente que la Ec. $(1)$ se convierte en \begin{equation} e^{-2i\theta}\left(a_1+2ia_2-a_3\right)u_{zz}+2\left(a_1+a_3\right)u_{z\bar{z}}+e^{2i\theta}\left(a_1-2ia_2-a_3\right)u_{\bar{z}\bar{z}}+e^{-i\theta}\left(b_1+ib_2\right)u_z+e^{i\theta}\left(b_1-ib_2\right)u_{\bar{z}}+cu=0.\tag{2} \end{equation}

Por último, nótese que la invariancia rotacional es equivalente a la arbitrariedad de $\theta$ . Por lo tanto, compare las Ecs. $(1)$ y $(2)$ y la invariancia implica los siguientes casos.

• Si $c\ne 0$ las fuerzas de invariancia \begin{align} a_1+2ia_2-a_3&=0,\\ a_1-2ia_2-a_3&=0,\\ b_1+ib_2&=0,\\ b_1-ib_2&=0. \end{align} Estos resultados indican que $a_1=a_3$ y $a_2=b_1=b_2=0$ como era de esperar.
• Si $c=0$ y $a_1+a_3\ne 0$ obviamente se aplica el mismo resultado, y seguimos teniendo la conclusión esperada.
• Si $c=0$ y $a_1+a_3=0$ y $a_1+2ia_2-a_3\ne 0$ (es decir, $a_1+ia_2\ne 0$ ), tenemos \begin{align} a_1-2ia_2-a_3&=0,\\ b_1+ib_2&=0,\\ b_1-ib_2&=0, \end{align} que, sin embargo, no admiten ninguna solución real: las cuatro igualdades dan $a_1=a_2=0$ y violar la condición $a_1+ia_2\ne 0$ .
• Si $c=0$ y $a_1+a_3=0$ y $a_1+2ia_2-a_3=0$ Estas condiciones conducen a $a_1=a_2=a_3=0$ , haciendo que la ecuación deje de ser de segundo orden.

En resumen, la conclusión deseada está completamente probada.

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1. Las soluciones a la ecuación de Laplace y a las funciones armónicas son exactamente las mismas. Como has mencionado, una forma de definir las funciones armónicas es tomarlas como las soluciones de la ecuación de Laplace.
2. Las funciones armónicas no son necesariamente radiales. Las funciones armónicas radiales se denominan soluciones fundamentales de la ecuación de Laplace. En 2-D, es $\log r$ en 3-D, es $1/r$ . Estas soluciones son esenciales y pueden utilizarse para construir funciones de Green que ayuden a resolver las ecuaciones de Poisson.
3. Dejemos que $f$ sea una función armónica, y supongamos que produce una separación de variables como $f(r,\theta)=F(r)\Theta(\theta)$ . Entonces $F$ cumple con una ecuación radial, y $\Theta$ se llama función armónica esférica. Estas funciones son esenciales, por ejemplo, en la mecánica cuántica.
4. En general, $f$ puede expresarse como $$ f=\sum_nF_n\Theta_n, $$ donde cada $F_n$ cumple con una ecuación radial, y cada $\Theta_n$ es una función armónica esférica. Esta expresión se puede obtener resolviendo la ecuación de Laplace por separación de variables.