¿Existe una base logarítmica para la cual el logaritmo se convierte en una función de identidad?

Question

¿Hay una base $b$ tal que:

PS

(El único que viene a la mente sería el caso no válido de $$\log_b x = x $ .)

Estoy bastante seguro de que la respuesta es no , pero no puedo encontrar una justificación clara para ello.

(No tengo una base matemática sólida, por lo que una respuesta con la intuición sería mucho más útil que cualquier prueba de teorema complejo).

Answer 1

Para que una función sea un logaritmo, debe cumplir la ley de los logaritmos: $\log ab = \log a + \log b$ , para $a,b \gt 0$ . Si fuera la función de identidad, se convertiría en $ab = a + b$ , lo que claramente no siempre es cierto.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\log_b x=x\iff b^x=x\iff b=\sqrt[x]{x}.$ $ Dado que $\sqrt[x]{x}$ no es una función constante, la relación no puede mantenerse para todos $x$ .

Pero puede ser cierto para algunos $x$ en particular . Por ejemplo, $b=\sqrt{2}$ y tenemos $$\log_{\sqrt{2}}2=2.$ $

Answer 3

No, no puede. Para cualquier base $b$ , hay una constante real $C$ , st $$ \ log_b x = C \ ln x $$ Si este logaritmo es una función de identidad, entonces el logaritmo natural sería solo $x/C$ , que es claramente falso.

Answer 4

Si $b^k = k$ para todos los $k$ luego

$(b^k)^m = b^{km}= k^m=km$ para todos los $k$ e $m$.

....

En realidad el diablo con él: $\log_b 1 = 0$ siempre y $1 \ne 0$.

Asimismo, $\log_b b = 1$ y, presumiblemente, $b \ne 1$

Answer 5

En general, $$log_b a=c$ $ es lo mismo que $$b^c=a$ $, por lo que puede dejar los registros atrás y concentrarse en las soluciones para $$b^x=x$ $