¿Qué tan fuerte es el axioma de elección bien ordenado?

Question

A veces veo referencias al "Axioma de Elección Bien Ordenado", pero no estoy seguro de cuán fuerte es. Afirma que cada familia bien ordenada de conjuntos tiene una función de elección.

Con "familia bien ordenada", no me refiero a que los conjuntos dentro de la familia estén bien ordenados, sino que la familia debe indexar todos los conjuntos dentro de la familia por algún ordinal.

¿Qué tan fuerte es este axioma? ¿Puede probar el teorema de Hahn-Banach, el lema del ultrafiltro, algo sobre conjuntos medibles, etc? ¿Tiene alguna implicación sobre qué conjuntos pueden estar bien ordenados (los números reales, por ejemplo), o quizás probar algo sobre el número de Hartogs de los conjuntos, etc?

¿Alguien tiene una referencia para esto?

Answer 1

El axioma de elección bien ordenado, o $\sf AC_{\rm WO}$, es estrictamente más débil que el propio axioma de elección. Si comenzamos con $L$ y añadimos $\omega_1$ números de Cohen, luego pasamos a $L(\Bbb R)$, se puede demostrar que se cumple $\sf AC_{\rm WO}$, mientras que $\Bbb R$ no puede ser bien ordenado allí.

Pincus probó en la década de 1970 que esto es equivalente a la siguiente afirmación sobre los números de Hartogs y Lindenbaum:

$\sf AC_{\rm WO}$ es equivalente a la afirmación $\forall x.\aleph(x)=\aleph^*(x)$.

Aquí, el número de Lindenbaum, $\aleph^*(x)$, es el ordinal menor al cual $x$ no puede ser mapeado. Un hecho obvio es que $\aleph(x)\leq\aleph^*(x)$.

A finales de la década de 1950 o principios de la década de 1960, Jensen demostró que esta suposición también implica $\sf DC$. Esta es también una prueba muy ingeniosa.

La conjunción de estas dos consecuencias nos da que $\aleph_1\leq 2^{\aleph_0}$, como resultado de un teorema de Shelah de la década de 1980, esto implica que hay un conjunto no medible de números reales.

En cuanto a Hahn–Banach, u otras cosas por el estilo, no creo que se sepa mucho sobre el tema. Pero para resumir, este axioma no implica que los números reales estén bien ordenados, pero sí implica que hay un conjunto no medible de números reales porque hay un conjunto de números reales de tamaño $\aleph_1$ y se cumple $\sf DC$. Además, es equivalente a decir que los números de Hartogs y Lindenbaum son iguales para todos los conjuntos.