No estoy seguro de qué tipo de equivalencia estás pidiendo, pero si buscas equivalencia de estructuras que fijan el $R$ -Módulo es decir, si estamos considerando equivalencias de categorías sobre $R\text{-Mod}$ (como para la correspondencia de $R[G]$ -comódulos con $G$ -módulos calificados) entonces la respuesta es no :
El functor de olvido $C\text{-CoMod}\to R\text{-Mod}$ refleja los isomorfismos, pero el funtor de olvido $R\text{-Filt}\to R\text{-Mod}$ no: para cualquier filtrado $R$ -Módulo $M$ con $M_0\neq M$ la identidad $M\to\Sigma M$ - con $(\Sigma M)_n := M_{n+1}$ - es un isomorfismo de $R$ -pero no de módulos filtrados $R$ -módulos.
Aun así, sería interesante entender si podría haber cualquier equivalencia de categorías $C\text{-CoMod}\cong R\text{-Mod}$ no conmuta con el functor de olvido a $R\text{-Mod}$ .
Como se menciona en la primera versión de la respuesta, la respuesta es no si $C\text{-CoMod}$ resulta ser abeliana, por ejemplo, si $R$ es un campo. Sin embargo, una suposición mucho más débil ya sería suficiente: Si hay cualquier no trivial $C$ -comódulo $M$ cuya base es $R$ -es plano, el $R$ -módulo kernel $\ker_R(t_M)$ del morfismo (mono-, epi-, pero no iso-) $t_M: \Sigma^{-1} M \to M$ es puro en $\Sigma^{-1} M$ por lo que se puede dotar de un $C$ -estructura del módulo, también. Pero como $t_M$ es un monomorfismo, esto obliga a $\ker_R(t_M)$ a desaparecer, por lo que $t_M$ es un isomorfismo, lo cual es una contradicción. Para entender el caso general, podría ser útil encontrar una fuente de ejemplos de monomorfismos comodín que no sean inyectivos, pero estoy atascado aquí.
