$E(X|X>a) \geq E(X) \ \ \forall a $

Question

Me gustaría saber cómo probar que:

$$ E(X|X>a) \geq E(X) \ \ \forall un $$

Sé que hay una cuestión relacionada con $ a = 0 $, pero esta pregunta es más general. Asumiendo $ X $ es un Verdadero unidimensionales R. V. Sé que es casi obvio, pero me gustaría una prueba algebraica, la manipulación de la expectativa de fórmulas:

$$ E(X)= \int_{-\infty}^\infty xf(x)dx \ \ \ \ \ \\ \ \ E(X|X>a) = \frac{1}{1-F(un)} \int_{a}^\infty xf(x)dx \\ E(X|X<a) = \frac{1}{F(un)} \int_{-\infty}^un xf(x)dx $$

Este es mi trate de usar el Total de la Expectativa Teorema:

Suponiendo que:

$ E[X|X<a] \leq E[X|X>a]$

Es obvio que:

\begin{align} E[X] &= E[X|X>a]P(X>a) + E[X|X<a]P(X<a) \\&\leq E[X|X>a](P(X>a)+P(X<a)) \\&= E[X|X>a] \end{align}

Así que, aquí veo que $ E[X|X>a] \geq E[X]$. Pero ¿cómo demostrar la asunción ($ E[X|X<a] \leq E[X|X>a]$) la manipulación de las fórmulas? Sé que es algo obvio pero no he sido capaz de hacerlo de manera algebraica. Cualquiera de las pruebas a las que estaría bien para mí, el título de uno o de la asunción.

Answer 1

Asumiendo que todos los dados condicional expectativas de existir, su prueba es bueno una vez que hemos probado a lo$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb E}$ $$ \E[X \mid X < a] \le \E[X \mid X > a] .$$ Pero sabemos que \begin{align} \E[X \mid X < a] & = \frac{1}{\Pr(X < a)} \int_{-\infty}^a x f(x) \,\mathrm{d}x \\&\le \frac{1}{\Pr(X < a)} \int_{-\infty}^a a f(x) \,\mathrm{d}x \\& = a \frac{1}{\Pr(X < a)} \int_{-\infty}^a f(x) \,\mathrm{d}x \\& = a ,\end{align} desde $f(x) \ge 0$ en todas partes. Asimismo, \begin{align} \E[X \mid X > a] & = \frac{1}{\Pr(X > a)} \int_a^{\infty} x f(x) \,\mathrm{d}x \\&\ge \frac{1}{\Pr(X > a)} \int_a^{\infty} a f(x) \,\mathrm{d}x \\& = a \frac{1}{\Pr(X > a)} \int_a^{\infty} f(x) \,\mathrm{d}x \\& = a .\end{align} Así tenemos $$ \E[X \mid X < a] \le \le \E[X \mid X > a] ,$$ y el resto de la prueba de que $\E[X] \le \E[X \mid X > a]$ lleva a través.

Tenga en cuenta que las expectativas existentes no es un vacío de la asunción: $\E[X \mid X < a]$'s de la existencia depende de la $\Pr(X < a) > 0$. Pero si $\Pr(X < a) = 0$, luego de una variable aleatoria continua $\Pr(X > a) = 1$, y por lo $\E[X] = \E[X \mid X > a]$.