Estaba intentando averiguar los intervalos donde$\sin ^{-1}x > \cos ^{-1}x$

Question

Yo estaba tratando de encontrar los intervalos donde $\sin ^{-1}x > \cos ^{-1}x$

La manera más fácil era sólo mira el gráfico y me enteré de que la región es $x \in ({1\over \sqrt{2}} , 1]$

Pero traté de demostrar la declaración algebraicamente también pero no podía entrar correctamente.

Para $$\sin ^{-1}x > \cos ^{-1}x$$ $$\Rightarrow \sin ^{-1}x -\cos ^{-1}x>0$$ $$\Rightarrow \sin ^{-1}x - \sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}>0 \tag1$$

El uso de la identidad $$\sin ^{-1}x -\sin ^{-1}y=\sin ^{-1} \left (x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}\right)$$ Equation $(1)$ puede ser escrita como

$$\Rightarrow \sin ^{-1}(2x^2-1)>0$$

Para que esto sea cierto $0<2x^2-1<1$ y también para que la ecuación sea válida $-1<2x^2-1<1$

Por lo tanto podemos tomar $0<2x^2-1<1$ como la intersección de las condiciones $$\Rightarrow 0\le 2x^2-1\le 1$$ $$\Rightarrow 1\le 2x^2\le 2$$ $$\Rightarrow 1/2\le x^2\le 1$$

El conjunto solución de la desigualdad podría ser $x \in ({1\over \sqrt{2}} , 1] \cup [-1,{-1\over \sqrt{2}}),$

¿Alguien puede decirme por qué estoy recibiendo la respuesta equivocada.

Answer 1

PS

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De hecho, $$ \ cos ^ {- 1} x = \begin{cases} \sin^{-1}\sqrt{1-x^2} &\mbox{if } x\ge0 \\ \pi-\sin^{-1}\sqrt{1-x^2} & \mbox{if } x<0\end {cases} $$

Answer 2

Solo es cierto que$\cos^{-1}(x) = \sin^{-1}(\sqrt{1-x^2})$ en la región$x \in [0, 1]$. Si comparas los gráficos de los dos en Wolfram Alpha , puedes ver cómo divergen. O, si eres más un tipo de persona numérica, ten en cuenta que$\cos^{-1}(-1) = \pi$ mientras que$\sin^{-1}(\sqrt{1-(-1)^2})=\sin^{-1}(0) = 0$.

Answer 3

PS

PS

PS

PS

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y también podemos incluir ángulos co-terminales con$$\sin^{-1}x>\cos^{-1}x $

Answer 4

A partir de hechos muy básicos:

Utilice este corolario del teorema del valor medio :

Sea$I$ un intervalo,$x_0\in I$ y$f,\,g\,$ funciones diferenciables en el interior de$I$, de modo que$\;f(x_0)=g(x_0)\;$ y$\;f'(x)>g'(x)\;$ en$\;\stackrel{\circ}{I}$. Entonces$$f(x)>g(x)\quad\text{for}\enspace x>x_0,\quad f(x)<g(x)\quad\text{for}\enspace x<x_0.$ $

En el caso presente:

• $\arcsin\dfrac{\sqrt2}2=\arccos\dfrac{\sqrt2}2=\dfrac\pi4$,
• $(\arcsin)'(x)=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}>-\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}=(\arccos)'(x)$.

Por lo tanto, el intervalo buscado es$\;\Bigl(\dfrac{\sqrt 2}2, 1\Bigr]$.

Answer 5

Acerca de su método tienes que tener en cuenta que, por desgracia, $\arccos x=\arcsin\sqrt{1-x^2}$ es una identidad falsa en general; es cierto sólo para $0\le x\le 1$.

Sin embargo, para $-1\le x<0$ tenemos $-\pi/2\le\arcsin x<0$$\pi/2<\arccos x\le\pi$, por lo que se puede excluir de este intervalo de tiempo, donde la desigualdad ciertamente no tiene.

Así tenemos $$ \begin{cases} \arcsin x>\arcsin\sqrt{1-x^2} \\[4px] 0\le x\le 1 \end{casos} $$ que se convierte, desde el arcoseno es el aumento de $$ \begin{cases} x>\sqrt{1-x^2} \\[4px] 0\le x\le 1 \end{casos} $$ Debido a la segunda limitación, podemos plaza de la primera desigualdad $$ \begin{cases} x^2>1-x^2 \\[4px] 0\le x\le 1 \end{casos} $$ y fácilmente obtener la $1/\sqrt{2} < x \le 1$.

Por otro lado, si $\alpha=\arccos x$,$0\le\alpha\le\pi$, lo $-\pi/2\le\pi/2-\alpha\le\pi/2$ e de $x=\cos\alpha$ obtenemos $x=\sin(\pi/2-\alpha)$, por lo que $$ \frac{\pi}{2}-\alpha=\arcsin x $$ y por lo tanto $$ \arccos x=\frac{\pi}{2}-\arcsin x $$ lo que hace que su desigualdad muy fáciles de resolver.