¿Existe alguna operación estándar para "girar anillos sobre matrices"?

Question

¿Existe alguna operación estándar para "girar anillos sobre matrices"? Mira la imagen de abajo:

Los números alrededor de los cuatro cuadrados vacíos son lo que yo llamo anillo En la segunda matriz anillo se ha girado en el sentido contrario a las agujas del reloj. Soy consciente de que anillo puede no ser el nombre correcto.

Answer 1

Estoy bastante seguro de que esta operación no tiene ninguna interpretación interesante cuando se considera que la matriz representa una transformación lineal, como suelen ser las matrices. Por lo tanto, es una apuesta bastante segura que esta operación no tiene nombre.

Answer 2

Utilizar la representación vectorial $\mathrm{vec}$ de su matriz $X$ apilando todas las columnas una encima de otra: $$ \mathrm{vec}\: \pmatrix{ 1 &4&2&6\\ 7&\square&\square&2 \\ 7&\square&\square&4 \\ 8&2&5&6\\ } =\pmatrix{ 1 &4&2&6& 7&\square&\square&2 & 7&\square&\square&4 & 8&2&5&6\\ }^T. $$ Aplicar ahora $\pi_{\text{rot.ring}}$ una permutación (matriz $M$ con dimensión $4^2$ ) en $\mathrm{vec}\;X$ tal que $\left(\mathrm{vec}\;X\right)_1$ se envía a $\left(\mathrm{vec}\;X\right)_5$ , $\left(\mathrm{vec}\;X\right)_2$ a $\left(\mathrm{vec}\;X\right)_1$ ,... Así que $\pi_{\text{rot.ring}}=\left(5,1,2,3,4,8,12,16,15,14,13,9\right)$ y $M_{j,j+1}=\left(\pi_{\text{rot.ring}}\right)_{j,j+1}$ y $M_{jj}=1$ si $j\in\{6,7,10,11\}$ .

Deshacer el $\mathrm{vec}$ y obtendrá una matriz con su anillo rotado.

Answer 3

Si identifica el espacio $M_{n\times n}$ con $\mathbb R^{n^2}$ y que $S_{n^2}$ actuar $\mathbb R^{n^2}$ permutando los ejes, entonces su operación corresponde a la acción de un $4n-4$ en ciclo $M_{n\times n}$ . Sin embargo, esta interpretación es puramente geométrica y no permite comprender cómo afecta la operación a la transformación lineal correspondiente a una matriz.