Análisis de Fourier en grupos abelianos finitos

Question

¿Puede alguien ayudarme a mostrar si $f$ es un carácter de un grupo abeliano finito, entonces para todo $a\in G$ ,

$$\sum_{[f]}f(a)\stackrel{}{=} \begin{cases} |G| & \text{if $ a$ is the identity} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Donde la suma abarca todos los caracteres de $G$ ,

Estaba pensando en utilizar el hecho de que los propios caracteres forman un grupo abeliano bajo multiplicación, de modo que tengo $$f_k(a)\sum_{[f]}f(a)=\sum_{[f]}f(a)f_k(a)=\sum_{[f]}f(a)$$

Pues eso, $$(1-f_k(a))\sum_{[f]}f(a)=0$$ Pero necesitaría $\exists k|f_k(a)\ne 1, \forall a \in G, a\ne e$

Para dividir ambos lados por $(1-f_k(a))$ que tampoco puedo conseguir.

Answer 1

La prueba (que es muy estándar) puede encontrarse, por ejemplo, en $\S 4.3$ del apéndice B del estas notas .

Si echa un vistazo, verá que va por buen camino, pero quizá se ha visto bloqueado por un error de cuantificación. Quiere mostrar su identidad para cada fijo elemento de no identidad $a \in G$ . Por tanto, no es necesario encontrar un carácter que no sea trivial en todos los elementos no identitarios (lo que no siempre es posible; considérese, por ejemplo. $G = Z/2 \times Z/2)$ . Sólo es necesario que cada elemento no identitario no sea matado por al menos un carácter en $G$ . Todavía hay algo que mostrar aquí, y las notas explican este punto cuidadosamente. (Se deduce de algo llamado Lema de extensión de caracteres ...)

Answer 2

Su estrategia de prueba es correcta. Para demostrar que existe un carácter con $\chi(a)\neq 1$ mira el curso de aritmética de Serre:

Proposición 1.1.: Sea $H$ sea un subgrupo de $G$ (finito), entonces cada carácter $\chi$ en $H$ se extiende a un carácter en $G$ .

Prueba (Esquema): Por inducción en $(G:H)$ . Sea $H$ sea un subgrupo no trivial, $x\notin H$ y $n$ mínimo tal que $x^n\in H$ . Si $\chi(x^n)=t$ elija cualquiera $w\in\mathbb{C}^{*}$ con $w^n=t$ y definir $\chi'(x)=w$ . Esto da una extensión de $\chi$ al subgrupo de $G$ generado por $H$ y $x$ .

Answer 3

Este es el llamado columna relación de ortogonalidad, aplicada a las clases de conjugación de $a$ y $1$ .

La demostración se puede encontrar en cualquier libro de teoría de la representación. Primero se demuestra que las representaciones irreducibles son una base para el espacio vectorial de funciones de clase, luego se expresa una de las funciones de clase base estándar (una que es 1 en una clase y 0 en todas las demás clases) como una suma de caracteres irreducibles. Se pueden calcular los coeficientes explícitamente en esta suma y luego rellenar $a$ en la relación que se obtiene (observando que $|g^G|=1$ ya que $G$ es abeliano).