Encuentre $a$ que hace $f$ continua y no tiene extremos

Question

Encuentre $a$ que hace $f$ continua y no tiene extremos:

$f(x)=\begin{cases} ax^2 & x\leq 1 \\ a^2x-2 & x>1 \end{cases}$

Esto es lo que he estado haciendo:

$\lim \limits_{x \to 1^-} ax^2=a$ et $\lim \limits_{x \to 1^+}a^2x-2=a^2-2$

Entonces encontré las raíces de $a^2-a-2=0$ que son $-1$ et $2$ .

Bien, este es mi problema, si se introducen los dos valores de $a$ , $f(x)$ es continua para ambos valores, así que ahora tengo que encontrar cuál de ellos hace que la función no tenga extremos... (Claramente mirando el gráfico, la respuesta es $-1$ Sólo que no sé cómo demostrarlo por "medios algebraicos")

Lo que he intentado (no sé si es correcto), es encontrar el límite como $x \rightarrow \infty$ para ambos casos:

Cuando $a=-1$

$\lim \limits_{x \to \infty} -x^2=-\infty$ et $\lim \limits_{x \to \infty} x-2=\infty$ Con esto sólo asumí que $f(x)$ no tiene extremos.

Cuando $a=2$

$\lim \limits_{x \to \infty} 2x^2=\infty$ et $\lim \limits_{x \to \infty} 4x-2=\infty$ ???

Por cierto, no puedo utilizar las derivadas para encontrar el extremo...

Gracias :-)

Answer 1

Su solución para la segunda parte funciona un poco. Para mostrar el caso cuando $a=-1$ no tiene extremos globales, puedes hacer lo que has hecho: has demostrado que la función no está acotada ni por arriba ni por abajo. Para la $a=2$ caso, quiere demostrar que $f$ tiene un extremo global considerando $x=0$ y mostrar $f(x)\geq f(0)$ para todos $x$ . A continuación argumentaré esto y daré una respuesta alternativa para $a=-1$ también. Aunque, creo que la gráfica es la forma más sencilla para este problema en particular.

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Teniendo en cuenta sólo extrema global , tienes razón en que $a=-1$ da el resultado, pero cualquier otro $a$ valor no lo hace. Proporcionaré algunos razonamientos algebraicos (sin derivadas) para que uno haga una solución. Ha reducido nuestras opciones a $a=-1,2$ exigiendo la continuidad, y lo has hecho igual que yo. Así que consideramos la condición de extremo global en cada uno de estos dos $a$ valores. Llamaré a $f_1:(-\infty, 1]\to \Bbb R$ con $f_1(x):=ax^2$ y $f_2:(1,\infty)\to\Bbb R$ con $f_2(x):=a^2x-2$ para que $f(x)=f_1(x)$ para $x\leq 1$ et $f(x)=f_2(x)$ para $x>1$ .

Supongamos que $a=2$ . Entonces $f_1$ et $f_2$ ambos tienen coeficientes principales positivos. Como $f_1$ es un cuadrático con coeficiente principal positivo debe tener un mínimo global (en este caso está en $x=0$ que es fácil de ver). Dado que $f_2$ es una función lineal con coeficiente principal positivo, y sólo está definida para $x>1$ debe satisfacer $f_2(x)\geq f_2(1)=f(1)$ . Desde $f(1)>f(0)$ concluimos que $f(0)$ es el valor mínimo de $f$ Así que $x=0$ es un mínimo global, y por tanto $f$ tiene un extremo global.

Supongamos que $a=-1$ . Entonces $f_1$ tiene un coeficiente principal negativo, por lo que tiene un máximo global pero no un mínimo global (de hecho, $f_1(x)\to -\infty$ como $x\to -\infty$ ). También, $f_2$ es lineal con un coeficiente inicial positivo, por lo que tiene un límite inferior (al igual que en el $a=2$ ), pero no tiene un máximo global (de hecho, $f_2(x)\to \infty$ como $x\to\infty$ ). Por lo tanto, $f$ no tiene un máximo ni un mínimo global, porque $f_1$ no tiene un mínimo y $f_2$ no tiene un máximo.

Answer 2

$$\lim \limits_{x \to -\infty} 2x^2=\infty$$ $$\lim \limits_{x \to \infty} 4x-2=\infty$$

también, $f(x)$ es continua por lo que se puede decir que $f(x)$ no tiene máximos globales

pero debe tener un mínimo global en algún lugar de $x \in(-\infty,\infty) $ porque $f(x)$ es una función continua

así que $a=-1$ es la opción correcta porque en ese caso, no se tiene ningún extremo global porque

$$\lim \limits_{x \to \infty} -x^2=-\infty$$ $$\lim \limits_{x \to \infty} x-2=\infty$$