¿El functor$S:\mathbf{Top}\to \mathbf{sSets}$ conserva (homotopy) colimits?

Question

¿El functor $S:\mathbf{Top}\to \mathbf{sSets}$ $S(X)_m=Hom_{\mathbf{Top}}(\Delta^m,X)$ preservar colimits? Si no, ¿qué es un contraejemplo?

Lo único que puedo decir es que preserva límites, porque es un derecho que adjunto y que conserva filtrada colimits desde cada una de las $\Delta^m$ es de un número finito de CW-complejos.

¿El functor $S$ preservar homotopy colimits? Si no, ¿qué es un contraejemplo?

De nuevo, sólo puedo decir que conserva homotopy límites, porque es un derecho Quillen adjunto. Este Quillen contigüidad con la izquierda adjunto la realización functor sin embargo, es también un Quillen equivalencia. Me pregunto si se sigue ya a partir de este hecho, que el derecho adjoint conserva homotopy colimits (y que la izquierda adjunto conserva homotopy límites).

Answer 1

Me parece que el reclamo acerca de filtrado colimits sospecha – esa pregunta es muy sutil (que es la razón por la que el objeto pequeño argumento en $\mathbf{Top}$ tiene que hacer con cuidado). De todos modos, $S$ conserva co-productos, debido a que los espacios de $\Delta^n$ están todos conectados. Por lo tanto, $S$ conserva colimits de diagramas de discretos espacios topológicos. (De hecho, $S$ restringe a una equivalencia entre los discretos espacios topológicos y discreto simplicial conjuntos.)

Sin embargo, consideran que la Sierpiński espacio de $X$, es decir, el espacio con un punto abierto y uno cerrado en el punto. Tomar la coequaliser de los dos mapas de $1 \to X$; es $1$ nuevo, por supuesto. Ahora, $S(X)_n$ es el conjunto de subconjuntos abiertos de $\Delta^n$, y el coequaliser de los dos mapas de $S(1)_n \to S(X)_n$ simplemente identifica el elemento correspondiente a $\emptyset$ con el elemento correspondiente a $\Delta^n$; esto, por supuesto, aún es un conjunto infinito. Así tenemos los ejemplo de un coequaliser no se conservan por $S$.

Nota, $X$ es generado de forma compacta, por lo que no es completamente patológico! Pero si usted prefiere trabajar en la categoría de compacta-genera espacios de Hausdorff (por ejemplo), aquí es otro contraejemplo. Considere dos mapas de $1 \to \Delta^1 \amalg \Delta^1$ cuyo coequaliser es $\Delta^1$. Supongamos, por una contradicción, que $\mathbf{Top}(\Delta^1, -)$ conserva este coequaliser. A continuación, la inducida por el mapa de $\mathbf{Top}(\Delta^1, \Delta^1 \amalg \Delta^1) \to \mathbf{Top}(\Delta^1, \Delta^1)$ debe ser surjective, pero eso es falso: desde $\Delta^1$ está conectado, su imagen en $\Delta^1 \amalg \Delta^1$ debe ser enteramente contenida en una de las dos copias, así que no hay mapa de $\Delta^1 \to \Delta^1 \amalg \Delta^1$ cuyo compuesto con el coequaliser mapa de $\Delta^1 \amalg \Delta^1$ es la identidad.

Como para homotopy colimits: desde $S$ (la mitad derecha de) un Quillen equivalencia, en efecto, se conserva todo homotopy colimits. Aquí me refiero a homotopy colimits en el sentido de izquierda derivados de functors.

Answer 2

La primera pregunta: este no suele ser el caso. Por ejemplo, puede encontrar un contraejemplo a partir del cual el functor Yoneda no conserva los colimits.

Como el colimit en$sSet$ se calcula en forma puntual, uno busca$X_1, X_2, X_0, X_3=X_1\cup_{X_0} X_2$, de modo que$\hom(\Delta^1, X_i)$ no es un diagrama de colimit. Deje$$X_1=[0,1],\quad X_2=[-1,0],\quad X_0=0,\quad X_3=[-1, 1].$ $ Entonces está claro que$X_3$ tiene más rutas que las rutas de$X_1$ más rutas de$X_2$.