Pregunta sobre el teorema de "Spivak"

Question

Me topé con este Teorema aquí en las páginas 91 y 92 en el texto. Comprobar la completa Teorema de ahí, pero es básicamente esto . Estoy teniendo problemas con la comprensión de dos partes en el paso final de la prueba:

$(1)$ , $x \rightarrow a$ Cada punto en el intervalo de $[a,x]$ obtiene arbitrariamente cerca de $x$, lo $$\lim_{x\to a}{c_x}=x$$ ¿No sería $\lim_{x\to a}{c_x}=a$ lugar?

$(2)$ $$f'_R(a)=\lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\bbox[yellow]{\lim_{x\to a^{+}}f'(c_x)=\lim_{x\to a^{+}}f'(x)}=L$$ No estoy muy seguro de que me siga que la parte resaltada, puede que alguien me ilumine?

Answer 1

1. Tienes toda la razón, debería ser$\lim_{x \to a^+} c_x = a$.
2. Arreglar$\epsilon > 0$. Primero, desde$\lim_{x \to a^+} f^\prime(x) = L$, elija$\delta_0 > 0$, tal que$\lvert f^\prime(x) - L \rvert < \epsilon$ cada vez que$0 < x-a < \delta_0$. Ahora, desde$\lim_{x \to a^+} c_x = a$ (con$c_x > a$), elija$\delta > 0$, tal que$0 < c_x - a < \delta_0$ cada vez que$0 < x - a < \delta$. ¿Qué puedes concluir ahora sobre$\lvert f^\prime(c_x) - L \rvert$ cada vez que$0 < x - a < \delta$?

Answer 2

La prueba y sus notas que faltan de la importancia de este teorema, y también creo que algo se ha perdido en la traducción.

La implicación es: Derivados no han simple discontinuidades. Se puede tener discontinuidades, no sólo de simple discontinuidades.

¿Cómo Spivak decir?

Supongamos $f$ es continua en a $a$ $f'(x)$ existe en todos los puntos de un intervalo que incluye a $a$, excepto tal vez en $a,$ $\lim_\limits{x\to a} f'(x)$ existe:

A continuación, $f'(a) =\lim_\limits{x\to a} f'(x)$

$f'(a) \lim_\limits{h\to 0} \frac {f(a + h) - f(a)}{h}$

por lo suficientemente pequeño $h>0, f$ es continua en a $[a,a+h]$ y diferenciable en a $(a,a+h)$ y el valor medio teorema se aplica

Existe una $\alpha_h \in (a,a+h)$ tal que $f'(\alpha_h) = \frac {f(a+h) - f(a)}{h}$

Y $\alpha_h$ enfoques $a$ $h$ enfoques $0.$

$\lim_\limits{h\to 0^+} \frac {f(a + h) - f(a)}{h} = \lim_\limits{\alpha_h \to a} f'(\alpha_h) = \lim_\limits{x \to a} f'(x)$

Y un argumento similar se realiza para la mano izquierda límite.

No tiene el paso $\lim_\limits{x\to a^+} f(c_x) = \lim_\limits{x\to a^+} f'(x)$ que estaba molestando.

Y ahora algo completamente diferente. ¿Cómo Rudin abordar el problema? (En realidad, después de esto veo que ya está en su libro)

Rudin demuestra algo que creo que es un poco más general.

Si la derivada es definido en todas partes en un intervalo, el valor intermedio de la propiedad se aplica.

Supongamos $f$ es diferenciable en a $[a,b]$ y supongamos $f'(a) < \lambda < f'(b)$ entonces existe un $x \in (a,b)$ tal que $f'(x) = \lambda$

Considere la posibilidad de $g(t) = f(t) - \lambda t$

Como $g'(a) < 0$, entonces hay un $t_1> a$ tal que $g(t_1) < g(a)$ y $g'(b) > 0$ implica que existe un $t_2 < b$ tal que $g(t_2) < g(b)$

$g(t)$ alcanza un mínimo en algún punto de $x\in (a,b)$

$g'(x) = 0\\ f(x) = \lambda$

Si $f'(a) > f'(b)$ un resultado similar sostiene.