¿Los pseudo (micro) operadores locales son pseudodiferenciales?

Question

$\DeclareMathOperator{supp}{supp} \DeclareMathOperator{sing}{sing}$Deje $\Omega$ ser un dominio compacto con cierre en $\mathbb R^n$. Considere la posibilidad de un operador lineal $A \colon X \to X$ satisfacer una de las siguientes condiciones:

1. $X = C^\infty_c(\mathbb R^n)$, $\forall u \in X \; \supp Au \subseteq\supp u$ (la localidad),
2. $X = \mathscr E'(\mathbb R^n)$, $\forall u \in X \; \sing\supp Au \subseteq \sing\supp u$ (pseudo-localidad),
3. $X = \mathscr E'(\mathbb R^n)$, $\forall u \in X \; WF(Au) \subseteq WF(u)$ (micro-localización).

El famoso Peetre del teorema de 1959, establece que si el valor es 1. sostiene, a continuación, $A|_{\Omega}$ es un operador diferencial lineal con suave coeficientes. Lo contrario es claramente cierto.

Ahora si $A$ es un buen pseudodifferential operador, a continuación, 2. y 3. mantenga. Pero es a la inversa verdad? Es cierto que si 2. o 3. sostiene, a continuación, $A|_{\Omega}$ es un pseudodifferential operador?

Answer 1

básicamente no

3 se mantendrá si el núcleo de Schwartz de A tiene un conjunto de WF contenido en el paquete conormal de la diagonal. Esta es una condición mucho más débil que ser un operador pseudo-diferencial.