He aquí una prueba utilizando funciones generadoras del recuento de subconjuntos de el conjunto $\{1,2,3,\ldots,2n\}$ con $n$ elementos cuya suma es par.
Por inspección la función generadora ordinaria bivariada de estos conjuntos por suma total (variable $z$ ) y el número de elementos (variable $u$ ) es $$f(z, u) = \prod_{k=1}^{2n} (1 + u z^k).$$
Ahora no nos interesa el valor de la suma, sólo su paridad. Observemos que la función generadora univariante de los subconjuntos con paridad par por el número de elementos viene dada por $$\frac{1}{2} f(+1,u) + \frac{1}{2} f(-1, u).$$
En realidad haciendo la sustitución de $z$ esto produce $$\frac{1}{2} \prod_{k=1}^{2n}(1 + u) + \frac{1}{2} \prod_{k=1}^{2n}(1 + u (-1)^k) = \frac{1}{2} (1+u)^{2n} + \frac{1}{2} ((1+u)^n \times (1-u)^n) \\ = \frac{1}{2} (1 + u)^{2n} + \frac{1}{2} (1 - u^2)^n.$$
Ahora hay dos casos, el primero es que $n$ es impar y el segundo que $n$ está en paz.
Obsérvese que la segunda potencia en $1-u^2$ no contiene poderes Impares para que que cuando $n$ es impar sólo contribuye el primer término. Por la expansión del binomio obtenemos el resultado $$[u^n] \frac{1}{2} (1 + u)^{2n} = \frac{1}{2} {2n\choose n},$$ que, por cierto, también se deduce por inspección sin necesidad de álgebra adicional.
Por otro lado, cuando $n$ es incluso el segundo término aporta el valor $$[u^n] \frac{1}{2} (1-u^2)^n = \frac{1}{2} (-1)^{n/2} {n\choose n/2}$$ para un total de $$\frac{1}{2} {2n\choose n} + \frac{1}{2} (-1)^{n/2} {n\choose n/2}.$$
Estas dos fórmulas juntas producen la siguiente secuencia: $$1, 2, 10, 38, 126, 452, 1716, 6470, 24310, 92252, \ldots$$
Esta es la secuencia OEIS A119358 .
