¿Qué es? $\int_{[0,1]^2}\!dx\,dy\,\mathcal{P} \frac{\log(x)}{x-y}$ ?

Question

¿Cuál es el valor de $$\int_{[0,1]^2} \!\!\!dx\,dy\,\mathcal{P} \frac{\log(x)}{x-y},$$ donde $\mathcal{P}$ denota el valor principal de Cauchy. Esto lo resolví una vez para una tarea, pero no recuerdo la respuesta ni la reproduzco ahora mismo... (mala memoria)

Cualquier ayuda o comentario será muy bien recibido.

Answer 1

Dejemos que $f(x,y)=\frac{\log x}{x-y}$ . Como el valor principal no parece estar bien definido aquí, integremos $f(x,y)+f(y,x)= \frac{\log (x/y)}{x-y}$ (que es positivo) en el triángulo definido por $0<y<x<1$ . Ahora $\int_0^x \frac{\log (x/y)}{x-y} dy = -\int_0^1 \frac{\log u}{1-u} du$ (cambio de variable $y=xu$ ), que no depende de $x$ por lo que es igual a la primera integral (integrando para $x$ entre $0$ y $1$ ).

Ahora $-\int_0^{1-\epsilon} \frac{\log u}{1-u} du = \int_0^{1-\epsilon} \sum_{ n \geq 1} \frac{u^{n-1}}{n} du = \sum_{n \geq 1} \frac{(1-\epsilon)^n}{n^2}$ y dejar que $\epsilon$ ir a $0$ da $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$ .