Una desigualdad binomial con fracciones factoriales.

Question

Demuestre que$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}$$ for $ n> 1, n \ in \ mathbb {N} $.

Answer 1

Tenemos por la identidad binomial que \begin{align*} \left(1 + \frac 1n \right)^n &= \sum_{k=0}^n \binom nk \frac 1{n^k}\\ &= \sum_{k=0}^n \frac{n!}{(n-k)! n^k} \cdot \frac 1{k!}\\ &= \sum_{k=0}^n \frac{n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)}{n \cdot n \cdots n} \cdot \frac 1{k!}\\ &\text{now the first factor is %#%#% for %#%#%}\\ &< \sum_{k=0}^n \frac 1{k!} \end {align *} para$<1$.

Answer 2

Sugerencia: simplemente expándalo usando el teorema del binomio, y usa el hecho obvio de que para$i < n$,$i< n$.

Answer 3

En esta respuesta , y en esta respuesta para$x=1$ , se muestra, usando el teorema binomial, que para$x\ge0$, $$ \begin{align} \left(1+\frac xn\right)^n &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{x^k}{n^k}\\ &=\sum_{k=0}^n\left(\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n}\dots\frac{n-k+1}{n}\right)\frac{x^k}{k!}\\ &\le\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!} \end {align} $$ donde la desigualdad es estricta para $x\gt0$ y$n\gt1$.

El ajuste$x=1$ da su resultado.

Answer 4

La expansión binomial le indica lo siguiente$$(1+\frac{1}{n})^n= 1^n + n*1^{n-1}*\frac{1}{n}+\binom{n}{2}*1^{n-2}*(\frac{1}{n})^2 + \cdots +(\frac{1}{n})^n $$ $$= 1+ 1+ \frac{1}{2!}(1-{1\over n}) + \cdots + \frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1 - \frac{n-1}{n})$$ $$\lt 1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} $ $

Te recomiendo que hagas el cálculo para ver cómo lo hace, realmente ayuda en el futuro.