¿Es la suma de seno y parte fraccionaria periódica?

Question

Estoy tratando de encontrar si la función $\sin(x)+\{x\}$ es periódica o no, donde $\{x\}$ es la parte fraccionaria de $x$.

Ahora $\sin$ $\{\ \}$ ambas son funciones periódicas con periodos de $2\pi $ $1$ respectivamente. No podemos usar el resultado de funciones continuas:

Si $f$ $g$ son continuas las funciones periódicas con el positivo períodos de $T_{1}$$T_{2}$, respectivamente, $f+g$ es periódica iff l.c.m.$(T_{1},T_{2})$ existe y l.c.m.$(T_{1},T_{2})$ es un período de $f+g.$

Pero en nuestro caso la primera de todas las $\{\ \}$ no es una función continua y en segundo lugar, l.c.m.$(2\pi,1)$ no está definido. Entonces, ¿cómo comprobar si $\sin(x)+\{x\}$ es periódica o no, y cómo determinar su periodo, si lo es?

Answer 1

Vamos $f(x) =\sin(x)+\{x\} $. Si $f$ es periódica con período de $t$, entonces $f(x) =f(x+t) $ para todos los $x$, o $\sin(x)+\{x\} =\sin(x+t)+\{x+t\} $.

Por lo tanto $\sin(x)+\{x\} =\frac1{n}\sum_{k=1}^n (\sin(x+kt)+\{x+kt\}) =\frac1{n}\sum_{k=1}^n\sin(x+kt)+\frac1{n}\sum_{k=1}^n\{x+kt\} =s_n(x)+t_n(x) $.

Desde $\sum_{k=0}^n \sin(x+kt) =\frac{\sin((n+1)t/2)\sin(x+nt/2)}{\sin(t/2)} $,

$s_n(x) \a 0 $ para $t \ne 2m\pi $ para $m \in \mathbb{Z}$.

Yo ahora uso el equidistribución teorema de (https://en.wikipedia.org/wiki/Equidistribution_theorem) que los estados que $$"\lim\limits_{n \to \infty} \frac1{n}\sum\limits_{k=1}^n f((x+ka)\bmod 1) =\int_0^1 f(y)dy $$ vale para casi todos los $x$ y cualquier Lebesgue integrable función de $f$."

Esto muestra que, para casi todos los $x$, $t_n(x) \a \int_0^1 x\,dx =\frac12 $ para casi todos los $x$.

Por lo tanto, si $f(x)$ periodo $t$, $f(x) = \frac12 $ para casi todos los $x$, cual es obviamente falso.

Answer 2

Como, según un comentario, parece que hay ejemplos de funciones con períodos no compensables que tienen una suma periódica, tenemos que proporcionar una prueba ad hoc de que$f(x):=\sin x+\{x\}$ no es periódico.

Supongamos que$f$ es periódico con el período$T>0$. La función$f$ tiene una discontinuidad de salto en los enteros, y es continua de lo contrario. Esto implica que$T\in{\mathbb N}_{\geq1}$. Ahora$f(\pi)=\{\pi\}$, y$f(\pi+T)=\{\pi\}-\sin T$. Dado que$\pi$ es irracional$T\notin \pi{\mathbb Z}$, y esto implica$\sin T\ne0$. Entonces tendríamos$f(\pi)\ne f(\pi+T)$, una contradicción.