Hay dos formas de escribir un número complejo: forma rectangular, por ejemplo, $x+iy$, y polar de la forma, por ejemplo, $re^{i\theta}$. La conversión entre ellos utiliza funciones trigonométricas: $$re^{i\theta}=r\cos\theta+ir\sin\theta\;.\tag{1}$$ Going in the other direction, $$x+iy=\sqrt{x^2+y^2}\,e^{i\theta}\;,$$ where $\theta$ is any angle such that $$\cos\theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\;\text{ and }\sin\theta=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\;.$$ The important thing for your argument is that $r=\sqrt{x^2+y^2}$.
El $r$ correspondiente a $2+i$ por lo tanto $\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5$, y el correspondiente a $2-i$$\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt5$. Los ángulos de $2+i$ es un ángulo $\theta$ cuyo coseno es $\frac2{\sqrt5}$ y en cuyo seno es $\frac1{\sqrt5}$, mientras que el ángulo de $2-i$ es un ángulo cuyo coseno es $\frac2{\sqrt5}$ y en cuyo seno es $-\frac1{\sqrt5}$. No importa cuáles son exactamente; lo importante es que si dejamos que el primer ser $\theta$, el segundo es $-\theta$, ya que el $$\cos(-\theta)=\cos\theta\;\text{ and }\sin(-\theta)=-\sin\theta\;.$$
Sustituyendo en $(1)$ da $$2+i=\sqrt5\cos\theta+i\sqrt5\sin\theta=\sqrt5(\cos\theta+i\sin\theta)=\sqrt5 e^{i\theta}$$ and $$2-i=\sqrt5\cos(-\theta)+i\sqrt5\sin(-\theta)=\sqrt5(\cos\theta-i\sin\theta)=\sqrt5 e^{-i\theta}\;.$$
Ahora uso el hecho de que es fácil levantar una exponencial a una potencia:
$$\begin{align*}
(2+i)^n+(2-i)^n&=(\sqrt5)^n\left(e^{i\theta}\right)^n+(\sqrt5)^n\left(e^{-i\theta}\right)^n\\
&=(\sqrt5)^n\left(e^{in\theta}+e^{-in\theta}\right)\\
&=(\sqrt5)^n\Big(\big(\cos n\theta+i\sin n\theta\big)+\big(\cos(-n\theta)+i\sin(-n\theta)\big)\Big)\\
&=(\sqrt5)^n\Big(\cos n\theta+i\sin n\theta+\cos n\theta-i\sin n\theta\Big)\\
&=(\sqrt5)^n 2\cos n\theta\;.
\end{align*}$$
